Упражнение 1087 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 246

\[ a^2-b^2=45 \]

\[ (a-b)(a+b)=45 \]

\[ 45=1\cdot 45=3\cdot 15=5\cdot 9 \]

1) \( \begin{cases}a-b=1,\\ a+b=45 \end{cases} \) \((+)\)

\( 2a=46\)

\(a = \frac{46}{2}\)

\(a=23 \)

\(23 - b = 1\)

\(b = 23 - 1\)

\(b = 22\)

2) \( \begin{cases}a-b=3,\\ a+b=15 \end{cases} \) \((+)\)

\( 2a=18\)

\(a = \frac{18}{2}\)

\(a=9 \)

\(9 - b = 3\)

\(b = 9-3 \)

\[ b=6 \]

3) \( \begin{cases}a-b=5,\\ a+b=9 \end{cases} \) \((+)\)

\( 2a=14\)

\(a = \frac{14}{2}\)

\(a=7 \)

\(7 - b = 5\)

\(b = 7 - 5\)

\[ b=2 \]

Ответ: \(23\) и \(22\); \(9\) и \(6\); \(7\) и \(2\).

Пояснения:

Используем формулу разности квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b). \]

Это позволяет заменить разность квадратов произведением двух выражений. По условию задачи:

\[ (a-b)(a+b)=45. \]

Теперь нужно разложить число \(45\) на произведение двух натуральных чисел. Все возможные разложения:

\[ 45=1\cdot 45,\quad 3\cdot 15,\quad 5\cdot 9. \]

Каждую пару мы приравниваем к выражениям \(a-b\) и \(a+b\). Это даёт систему из двух уравнений:

\[ a-b=x,\quad a+b=y. \]

Чтобы найти \(a\), складываем уравнения:

\[ 2a=x+y. \]

Чтобы найти \(b\), подставляем полученное \(a\) в первое уравнение и выражаем \(b).

Решая каждую систему, получаем три пары натуральных чисел:

\[ (23,22),\ (9,6),\ (7,2). \]

Все они удовлетворяют условию задачи, так как разность их квадратов равна \(45\).