Упражнение 1080 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

\(\begin{cases} x+y+z=14,\\ x+yz=19 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ 14-y-z+yz=19 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ yz-y-z+1+13=19 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y(z-1)-(z-1)=6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=14-y-z,\\ (y-1)(z-1)=6 \end{cases} \)

Разложение числа \(6\) на натуральные делители:

\[ 6=1\cdot 6 \]

\[ 6=2\cdot 3 \]

\[ 6=3\cdot 2 \]

\[ 6=6\cdot 1 \]

1) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=1,\\z-1=6 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=5,\\ y=2,\\z=7 \end{cases} \)

2) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=2\\z-1=3 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=7,\\ y=3,\\z=4 \end{cases} \)

3) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=3\\z-1=2 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=7,\\ y=4,\\z=3 \end{cases} \)

4) \(\begin{cases} x=14-y-z,\\ y-1=6\\z-1=1 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x=5,\\ y=7,\\z=2 \end{cases} \)

Ответ: \( (5,2,7),\) \( (7,3,4),\) \( (7,4,3),\) \( (5,7,2). \)

Пояснения:

Главная идея решения — выразить одну переменную через другие и подставить её во второе уравнение.

Из первого уравнения системы:

\[ x+y+z=14 \]

можно выразить переменную \(x\):

\[ x=14-y-z. \]

После подстановки во второе уравнение получаем выражение только с переменными \(y\) и \(z\):

\[ 14-y-z+yz=19. \]

После преобразования выражение можно представить в виде произведения:

\[ (y-1)(z-1)=6 \]

Теперь задача сводится к разложению числа \(6\) на множители. Поскольку \(y\) и \(z\) — натуральные числа, рассматриваются только положительные делители.

Для каждого разложения числа \(6\) находятся значения \(y\) и \(z\), после чего по формуле \(x=14-y-z\) вычисляется \(x\).

Таким образом получаются все возможные натуральные решения системы.