Упражнение 1079 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 245

\( \begin{cases} x^2+y^2-2z^2=0,\\ x+y+z=8,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (x+y)^2-2xy-2z^2=0,\\ x+y=8-z,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (8-z)^2+2z^2-2z^2=0,\\ x+y=8-z,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} (8-z)^2=0,\\ x+y=8-z,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 8-z=0,\\ x+y=0,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} z=8,\\ x=-y,\\ xy=-z^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} z=8,\\ x=-y,\\ -y^2=-8^2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} z=8,\\ x=-y,\\ y^2=64\end{cases} \)

\( \begin{cases} z=8,\\ x=-8,\\ y=8\end{cases} \)  или \( \begin{cases} z=8,\\ x=8,\\ y=-8\end{cases} \) 

Ответ: \( (8,-8,8),\; (-8,8,8). \)

Пояснения:

Сначала выпишем основные приёмы, которые использовались в решении.

Формула квадрата суммы:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. \]

Если квадрат числа равен нулю, то само число равно нулю:

\[ a^2=0 \Rightarrow a=0. \]

Именно эти два факта позволяют быстро упростить систему.