Упражнение 699 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x-2y)(x+2y)+4y^2 = \)

\(=x^2-4y^2+4y^2=x^2.\)

б) \((2a-3b)(2a+3b)-3a^2=\)

\(=4a^2-9b^2-3a^2=a^2-9b^2.\)

в) \((5x-1)^2+10x=\)

\(=25x^2-10x+1+10x=\)

\(=25x^2+1\)

г) \(\small (3y+4z)^2-8z(3y-2z)=\)
\(\small =9y^2+24yz+16z^2-(24yz-16z^2)=\)

\(\small =9y^2+24yz+16z^2-24yz+16z^2=\)

\(\small =9y^2+32z^2\)

д) \((m-2n)(m^2+2mn+4n^2)+6n^3=\)

\(=m^3-(2n)^3+6n^3=\)

\(=m^3-8n^3+6n^3=m^3-2n^3.\)

е) \((c^2+4d)(c^4-4c^2d+16d^2)-c^2(c^4-1)=\)

\(=(c^2)^3+(4d)^3-c^6+c^2=\)

\(=c^6+64d^3-c^6+c^2=\)

\(=c^2+64d^3.\)

ж) \(\small (3x-4y)^2-(2x-7y)(4x+2y)=\)

\(\small =9x^2-24xy+16y^2-(8x^2-24xy-14y^2)=\)

\(\small =9x^2-24xy+16y^2-8x^2+24xy+14y^2=x^2+30y^2\)

з) \(2x(2x+3)^2-(2x-3)(4x^2+6x+9)=\)

\(=2x(4x^2+12x+9)-(8x^3-27)=\)

\(=8x^3+24x^2+18x-8x^3+27=\)

\(=24x^2+18x+27.\)

Пояснения:

Используемые формулы:

1) Разность квадратов двух выражений:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

2) Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений: 

\((a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2\).

3) Сумма кубов двух выражений: 

\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\).

4) Разность кубов двух выражений: 

\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\).

5) Распределительный закон умножения.

\((x_n)\) - последовательность.

\(S_n=n^2-8n\)

1) \(x_n=S_n-S_{n-1}\)

\(S_{n-1} = (n-1)^2-8(n-1) =\)

\(=n^2-2n+1-8n+8=\)

\(=n^2 - 10n + 9\).

\(x_n=(n^2-8n)-(n^2 - 10n + 9)=\)

\(=n^2-8n-n^2+10n-9=\)

\(=2n-9.\)

\(d = x_{n+1}-x_n=\)

\(=(2(n+1)-9)-(2n-9)=\)

\(=\cancel{2n} + 2 - \cancel9 - \cancel{2n} + \cancel9 =2\) - не зависит от \(n\), поэтому последовательность арифметическая.

\(x_5=2\cdot5-9 = 10 - 9 =1\).

Ответ: \(x_5= 1\).

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Член последовательности выражается через суммы:

\[x_n=S_n-S_{n-1}.\]

2) Последовательность является арифметической, если разность соседних членов постоянна (не зависит от \(n\).

Проверка, является ли последовательность арифметической.

По формуле суммы \(S_n=n^2-8n\) находим общий член последовательности:

\[x_n=2n-9.\]

Так как каждый следующий член увеличивается на одно и то же число \(2\), последовательность является арифметической прогрессией.

Нахождение пятого члена.

Подставляя \(n=5\) в формулу общего члена, получаем:

\[x_5=2\cdot5-9=1.\]