Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№691 учебника 2023-2026 (стр. 189):
Найдите значение выражения:
а) \(3x^2-6x-5\) при \(x=1+\sqrt{2};\)
б) \(\dfrac{x^2-x-5}{x-1}\) при \(x=\sqrt{5}+1.\)
№691 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Какова сумма натуральных чисел:
а) меньших 100 и не кратных 3;
б) больших 50, но меньших 150 и не кратных 5?
№691 учебника 2023-2026 (стр. 189):
№691 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Вспомните:
№691 учебника 2023-2026 (стр. 189):
а) \(3x^2-6x-5\)
При \(x=1+\sqrt{2}:\)
\(\small 3\cdot(1+\sqrt{2})^2-6\cdot(1+\sqrt{2})-5=\)
\(\small 3\cdot(1+2\sqrt{2}+2)-6\cdot(1+\sqrt{2})-5=\)
\(\small 3\cdot(3+2\sqrt{2})-6-6\sqrt{2}-5=\)
\(\small 9+6\sqrt{2}-11-6\sqrt{2}=-2\)
Ответ: значение выражения \(3x^2-6x-5\) при \(x=1+\sqrt{2}\) равно \(-2.\)
б) \(\dfrac{x^2-x-5}{x-1}\)
При \(x=\sqrt{5}+1:\)
\(\dfrac{(\sqrt{5}+1)^2-(\sqrt{5}+1)-5}{\sqrt{5}+1-1}=\)
\(=\dfrac{5+2\sqrt{5}+1-\sqrt{5}-1-5}{\sqrt{5}}=\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1.\)
Ответ: значение выражения \(\dfrac{x^2-x-5}{x-1}\) при \(x=\sqrt{5}+1\) равно \(1.\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) Формула квадрата суммы:
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\]
2) Приведение подобных слагаемых.
3) Подстановка значения переменной в выражение с последующим упрощением.
№691 учебника 2014-2022 (стр. 178):
а) 1) \(1; 2; 3; \dots; 99\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1=1,\ a_n=99, \ n = 99\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{99}=\dfrac{1+99}{2}\cdot 99=\dfrac{ ^{\color{blue}{50}} \cancel{100}\cdot99}{\cancel2}=\)
\(=50\cdot99 = 4950\)
2) Числа, кратные 3 и меньшие 100:
\(3; 6; 9; \dots; 99\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 3\).
\(a_1=3,\ a_n=99\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(3 + (n - 1)\cdot3 = 99\)
\(3 + 3n - 3 = 99\)
\(3n = 99\)
\(n = \frac{99}{3}\)
\(n = 33\)
\(S_{33}=\dfrac{(3+99)}{2}\cdot33=\frac{ ^{\color{blue}{51}} \cancel{102}\cdot33}{\cancel2}=\)
\(=51\cdot33=1683\).
3) \(S_{99} - S_{33} = 4950-1683=3267.\)
Ответ: сумма натуральных чисел, меньших \(100\) не кратных \(3\), равна \(3267\).
б) 1) \(51; 52; 53; \dots; 149\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1=51,\ a_n=149\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(51 + (n - 1)\cdot1 = 149\)
\(51 + n - 1 = 149\)
\(50 + n = 149\)
\(n = 149 - 50\)
\(n = 99\)
\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
\(S_{99}=\dfrac{(51+149)}{2}\cdot99=\)
\(=\frac{ ^{\color{blue}{100}} \cancel{200}\cdot99}{\cancel2}=9900\)
2) \(55; 60; 65; \dots; 145\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 5\).
\(a_1=55,\ a_n=145\)
\(a_n = a_1 + (n-1)d\)
\(55 + (n-1)\cdot5 = 145 \)
\(55 + 5n - 5 = 145\)
\(50 + 5n = 145\)
\(5n = 145 - 50\)
\(5n = 95\)
\(n = \frac{95}{5}\)
\(n= 19\)
\(S_{19}=\dfrac{55+145}{2}\cdot 19=\)
\(=\frac{ ^{\color{blue}{100}} \cancel{200}\cdot19}{\cancel2}=1900\).
3) \(S_{99} - S_{19} = 9900 - 1900 = 8000\)
Ответ: сумма натуральных чисел больших \(50\), но меньших \(150\) и не кратных \(5\), равна \(8000\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Количество членов арифметической прогрессии от \(a_1\) до \(a_n\) включительно находим через формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии.
\(a_n = a_1+(n-1)d\).
2) Числа, кратные одному и тому же числу, образуют арифметическую прогрессию.
3) Чтобы найти сумму чисел с условием «не кратные», удобно из общей суммы вычесть сумму кратных.
4) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n\]
а) Числа меньше 100 и не кратные 3.
Из суммы всех чисел меньше 100 вычитается сумма всех чисел, кратных 3. Оставшаяся сумма и есть искомая.
б) Числа от 51 до 149 и не кратные 5.
Сначала находится сумма всех чисел данного промежутка, затем из неё вычитается сумма чисел, кратных 5 из этого промежутка.
Вернуться к содержанию учебника