Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№683 учебника 2023-2026 (стр. 188):
К 200 г 40%-го раствора соли долили 300 г воды. Какой стала концентрация раствора соли?
№683 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\). Найдите:
а) \(d\), если \(a_{20}=1{,}7\) и \(a_{37}=0\);
б) \(a_{100}\), если \(a_{10}=270\) и \(d=-3\).
№683 учебника 2023-2026 (стр. 188):
№683 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№683 учебника 2023-2026 (стр. 188):
1) \(40\%=40:100=0,4\)
\(200\cdot0{,}4=80\) (г) - масса соли в растворе.
2) \(200+300=500\) (г) - масса раствора после добавления воды.
3) \(\dfrac{80}{500}\cdot100\%=0{,}16\cdot100\%=16\%\) - новая концентрация соли.
Ответ: \(16\%.\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) Концентрация раствора (в процентах) вычисляется по формуле:
\[\text{концентрация}=\frac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}\cdot100\%.\]
2) При добавлении воды масса растворённого вещества не изменяется.
Подробное объяснение.
В 200 г 40%-го раствора содержится 40% соли, то есть 80 г. При добавлении 300 г воды масса соли остаётся прежней, но увеличивается общая масса раствора. Поэтому концентрация уменьшается и равна 16%.
№683 учебника 2014-2022 (стр. 177):
а) \(a_{20}=1{,}7\) и \(a_{37}=0\)
\(d - ?\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(\begin{cases} a_{20}=a_1+19d,\\ a_{37}=a_1+36d \end{cases}\)
\(\begin{cases} a_1+19d =1,7, \\ a_1+36d = 0 \end{cases}\) \((-)\)
\((a_1+19d) - (a_1+36d) = 1,7 - 0\)
\(\cancel{a_1}+19d - \cancel{a_1} - 36d = 1,7\)
\(-17d = 1,7\)
\(d = -\frac{1,7}{17}\)
\(d=-0{,}1\)
Ответ: \(d=-0{,}1\).
б) \(a_{10}=270\) и \(d=-3\)
\(a_{100} - ?\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_{10}=a_1+9d\)
\( a_1 + 9 \cdot(-3) = 270\)
\(a_1 - 27 = 270\)
\(a_1 = 270 + 27\)
\(a_1 = 297\)
\(a_{100}=a_1+99d\)
\(a_{100} = 297 + 99\cdot (-3) = \)
\(= 297 - 297 = 0\)
Ответ: \(a_{100}=0\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
а) Нахождение разности прогрессии.
Если известны два члена прогрессии, можно составить систему из двух уравнений с неизвестными \(a_1\) и \(d\). Вычитая одно уравнение из другого, исключаем \(a_1\) и находим разность \(d\).
б) Нахождение сотого члена.
Если известен некоторый член прогрессии \(a_n\) и разность \(d\), то первый член можно найти, выразив его из формулы \(n\) - го члена арифметической прогрессии. Зная \(a_1\) и \(d\) по формуле \(n\) - го члена арифметической прогрессии можно найти любой ее член.
Вернуться к содержанию учебника