Упражнение 681 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{2-3x^2}{x^3}\).

При \(x=-\dfrac{1}{2}\):

\(\dfrac{2-3\cdot (-\tfrac{1}{2})^2}{(-\tfrac{1}{2})^3}=\dfrac{2-3\cdot \tfrac{1}{4}}{-\tfrac{1}{8}}=\)

\(=\dfrac{2-\dfrac{3}{4}}{-\tfrac{1}{8}}=\frac{5}{4}:\biggl(-\frac{1}{8}\biggr)=\)

\(=-\dfrac{5}{4}\cdot8=-10.\)

Ответ: значение выражения \(\dfrac{2-3x^2}{x^3}\) при  \(x=-\dfrac{1}{2}\) равно \(-10.\)

б) \(\dfrac{1-m^2}{3m^2-m}\)

При \(m=\dfrac{2}{3}\):

\(\dfrac{1-(\tfrac{2}{3})^2}{3\cdot(\tfrac{2}{3})^2-\tfrac{2}{3}}=\dfrac{1-\frac{4}{9}}{3\cdot\frac{4}{9}-\tfrac{2}{3}}=\)

\(=\dfrac{\frac{5}{9}}{\frac{4}{3}-\tfrac{2}{3}}=\frac{5}{9}:\frac{2}{3}=\frac{5}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{5}{6}.\)

Ответ: значение выражения \(\dfrac{1-m^2}{3m^2-m}\) при \(m=\dfrac{2}{3}\) равно \(\frac{5}{6}.\)

в) \(\dfrac{10x^2-5y^2}{x+y}\)

При \(x=1{,}4,\ y=-1{,}6\):

\(\dfrac{10\cdot 1,4^2-5\cdot (-1,6)^2}{1,4+(-1,6)}=\)

\(=\dfrac{10\cdot 1{,}96-5\cdot 2{,}56}{1,4+(-1,6)}=\)

\(=\dfrac{19{,}6-12{,}8}{-0,2}=\dfrac{6{,}8}{-0{,}2}=-34.\)

Ответ: значение выражения \(\dfrac{10x^2-5y^2}{x+y}\) при \(x=1{,}4,\ y=-1{,}6\) равно \(-34.\)

г) \(\dfrac{abc}{a(b-c)}\)

При \(a=1{,}5,\ b=10,\ c=-2:\)

\(\small \dfrac{1,5\cdot10\cdot(-2)}{1,5\cdot(10-(-2))}=\dfrac{-20}{12}=-\dfrac{5}{3}.\)

Ответ: значение выражения \(\dfrac{abc}{a(b-c)}\) при  \(a=1{,}5,\ b=10,\ c=-2\) равно \(-\dfrac{5}{3}.\)

Пояснения:

Используемые правила:

1) При подстановке значения переменной сначала вычисляются степени.

2) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.\]

3) В дроби можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе (если они не равны нулю).

а) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия.

Доказать:

\(y_2+y_7=y_4+y_5\).

Доказательство:

1) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, тогда

\[y_n=y_1+(n-1)d.\]

\(y_2 = y_1 + d\);

\(y_7 = y_1 + 6d\);

\(y_4 = y_1 + 3d\);

\(y_5 = y_1 + 4d\).

2) \(y_2+y_7=(y_1+ d)+(y_1+6d)=\)

\(=y_1+d+y_1+6d=2y_1+7d\);

\(y_4+y_5=(y_1+3d)+(y_1+4d)\)

\(=y_1+3d+y_1+4d=2y_1+7d\).

\(y_2+y_7=y_4+y_5 = 2y_1 + 7d\)

Что и требовалось доказать

б) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия.

Доказать:

\(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\),

где \(n>5\).

Доказательство:

1) \((y_n)\) — арифметическая прогрессия, тогда

\[y_n=y_1+(n-1)d.\]

\(y_{n-5} = y_1+(n-5-1)d=\)

\(=y_1+(n-6)d\);

\(y_{n+10} = y_1+(n+10-1)d=\)

\(=y_1+(n+9)d\);

\(y_{n} = y_1+(n-1)d\);

\(y_{n+5} = y_1+(n+5-1)d=\)

\(=y_1+(n+4)d\).

2) \(y_{n-5}+y_{n+10}=(y_1+(n-6)d)+(y_1+(n+9)d)=\)

\(=y_1+(n-6)d+y_1+(n+9)d=\)

\(=2y_1 + ((n-6) + (n + 9))d=\)

\(=2y_1 + (n - 6 + n + 9)d = \)

\(=2y_1 + (2n + 3)d\);

\(y_n+y_{n+5}=(y_1+(n-1)d)+(y_1+(n+4)d)=\)

\(=y_1+(n-1)d+y_1+(n+4)d=\)

\(=2y_1+(2n+3)d\)

\(=2y_1+((n - 1) + (n + 4))d=\)

\(=2y_1+(n - 1 + n + 4)d=\)

\(=2y_1+(2n + 3)d\).

\(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Определение арифметической прогрессии:

\(y_{k+1}=y_k+d\),

где \(d\) — постоянная разность.

2) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[y_n=y_1+(n-1)d.\]

3) Если два выражения после преобразований дают один и тот же результат, то они равны.

а) \(y_2+y_7=y_4+y_5\).

Записываем члены прогрессии \(y_2\), \(y_7\), \(y_4\), \(y_5\) через первый член \(y_1\) и разность \(d\):

Затем находим суммы

\(y_2+y_7\) и \(y_4+y_5\)

и получаем для них одинаковые выражения, значит суммы равны и между собой.

б) \(y_{n-5}+y_{n+10}=y_n+y_{n+5}\),

где \(n>5\).

Записываем члены прогрессии \(y_{n-5}\), \(y_{n+10}\), \(y_n\), \(y_{n+5}\) через первый член \(y_1\) и разность \(d\):

Затем находим суммы

\(y_{n-5}+y_{n+10}\)  и  \(y_n+y_{n+5}\)

и получаем для них одинаковые выражения, значит суммы равны и между собой. Условие \(n>5\) нужно, чтобы индекс \(n-5\) был натуральным.