Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№678 учебника 2023-2026 (стр. 187):
Сумму первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\) можно найти по формуле
\[S_n=\frac{3}{4}(5^n-1).\]
Докажите, что последовательность \((x_n)\) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.
№678 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Найдите номер члена арифметической прогрессии \((a_n)\):
а) равного \(-2{,}94\), если \(a_1=1{,}26\) и \(d=-0{,}3\);
б) равного \(-9{,}7\), если \(a_5=-3{,}7\) и \(d=-0{,}6\).
№678 учебника 2023-2026 (стр. 187):
Вспомните:
№678 учебника 2014-2022 (стр. 177):
Вспомните:
№678 учебника 2023-2026 (стр. 187):
\(S_n=\frac{3}{4}(5^n-1)\) - сумма первых \(n\) членов последовательности \((x_n)\).
Доказать: \((x_n)\) - геометрическая прогрессия.
Доказательство:
\[x_n=S_n-S_{n-1}\]
\(x_n=\frac{3}{4}(5^n-1)-\frac{3}{4}(5^{n-1}-1)=\)
\(=\frac{3}{4}\bigl(5^n-1-5^{n-1}+1\bigr)=\)
\(=\frac{3}{4}(5^n-5^{n-1})=\)
\(=\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1}(5-1)=\)
\(=\frac{3}{\cancel4}\cdot 5^{n-1}\cdot \cancel4=3\cdot 5^{n-1}.\)
\(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{3\cdot 5^{n}}{3\cdot 5^{n-1}}=5\) - не зависит от \(n\), поэтому \((x_n)\) — геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=5\).
\(x_1=S_1=\frac{3}{4}\cdot(5^1-1) =\frac{3}{\cancel4}\cdot\cancel4=3\)
Пояснения:
Правила и формулы, которые используются:
\[S_n=x_1+x_2+\dots+x_n\]
\[x_n=S_n-S_{n-1}\]
Последовательность — геометрическая прогрессия, если \(\frac{x_{n+1}}{x_n}=q\) - постоянное число.
\[a^n-a^{n-1}=a^{n-1}(a-1)\]
Так как \(S_n\) — это сумма первых \(n\) членов, то чтобы выделить один \(n\)-й член, вычитаем сумму первых \((n-1)\) членов:
\(S_n=(x_1+x_2+\dots+x_{n-1})+x_n,\)
\(S_{n-1}=x_1+x_2+\dots+x_{n-1}\)
Вычитая, получаем \(x_n=S_n-S_{n-1}\).
Подставляем данную формулу суммы:
\[x_n=\frac{3}{4}(5^n-1)-\frac{3}{4}(5^{n-1}-1)\]
Скобки раскрываем и приводим подобные:
\[x_n=\frac{3}{4}(5^n-5^{n-1})\]
Чтобы упростить выражение, выносим \(5^{n-1}\) за скобку по правилу
\(5^n-5^{n-1}=5^{n-1}(5-1)\):
\[x_n=\frac{3}{4}\cdot 5^{n-1}\cdot 4=3\cdot 5^{n-1}\]
Теперь видно, что каждый следующий член получается умножением на \(5\):
\[\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{3\cdot 5^{n}}{3\cdot 5^{n-1}}=5\]
Отношение \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\) не зависит от \(n\), значит последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем \(q=5\).
Первый член находим подстановкой \(n=1\) в формулу \(S_n=\frac{3}{4}(5^n-1)\), учитывая то, что \(x_1=S_1\).
№678 учебника 2014-2022 (стр. 177):
а) \((a_n)\)- арифметическая прогрессия.
\(a_1=1{,}26\), \(d=-0{,}3\),
\(a_n = -2{,}94\), \(n = ?\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(1{,}26+(n-1)\cdot(-0{,}3) = - 2,94\)
\((n-1)\cdot(-0{,}3) = - 2,94 - 1,26\)
\((n-1)\cdot(-0{,}3) = - 4,2\)
\(n - 1 = \frac{-4,2}{-0,3}\)
\(n - 1 = \frac{42}{3}\)
\(n - 1 = 14\)
\(n = 14 + 1\)
\(n=15\)
Ответ: \(n=15\).
б) \((a_n)\)- арифметическая прогрессия.
\(a_5=-3{,}7\), \(d=-0{,}6\),
\(a_n = -9,7\), \(n = ?\)
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
1) \(a_5 = a_1 + (5 - 1)d\)
\(a_5 = a_1 + 4d\)
\(a_1 + 4\cdot(-0,6) = -3,7\)
\(a_1 - 2,4 = -3,7\)
\(a_1 = -3,7 + 2,4\)
\(a_1 = -1,3\)
2) \(-1,3 + (n - 1)\cdot (-0,6) = -9,7\)
\( (n - 1)\cdot (-0,6) = -9,7 + 1,3\)
\( (n - 1)\cdot (-0,6) = -8,4\)
\(n - 1 = \frac{-8,4}{-0,6}\)
\(n - 1 = \frac{84}{6}\)
\(n - 1 = 14\)
\(n = 14 + 1\)
\(n=15\)
Ответ: \(n=15\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n=a_1+(n-1)d.\]
а) Подробное объяснение.
Подставляем заданные значения \(a_1\), \(d\) и значение члена \(a_n = -2{,}94\) в формулу \(n\)-го арифметической прогрессии. После переноса чисел и деления на разность \(d\) получаем номер \(n\).
б) Подробное объяснение.
Так как известен пятый член прогрессии, сначала через него находим \(a_1\) по формуле \(n\) - го члена. А затем также по формуле \(n\) - го члена находим номер \(n\), для которого \(a_n = -9,7\).
Вернуться к содержанию учебника