Упражнение 670 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть три числа одновременно образуют арифметическую и геометрическую прогрессию.

Как арифметическая прогрессия:

\(a-d,\ a,\ a+d\).

Как геометрическая прогрессия:

\(\dfrac{a}{a-d}=\dfrac{a+d}{a}\).

\(a\cdot a=(a-d)(a+d)\).

\(a^2=a^2-d^2\)

\( d^2= a^2-a^2\)

\(d^2=0\).

\(d=0\).

Тогда все три числа равны:

\(a,\ a,\ a\) - арифметическая прогрессия с \(d = 0\).

\(a,\ a,\ a\) - геометрическая прогрессия с \(q = 1\).

Ответ: существуют три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Три последовательных члена арифметической прогрессии можно записать в виде \(a-d,\ a,\ a+d\).

2) Для трёх чисел, образующих геометрическую прогрессию, квадрат среднего равен произведению крайних:

\[a^2=(a-d)(a+d).\]

Анализ условия.

Если три числа являются одновременно членами арифметической и геометрической прогрессии, то для них должны выполняться оба свойства.

Из условия геометрической прогрессии получаем равенство

\(a^2=(a-d)(a+d)\).

После раскрытия скобок это равенство возможно только при \(d=0\).

Вывод.

Разность арифметической прогрессии равна нулю, значит все три числа равны между собой.

а) \(c_n=-2n^2+7\)

\(c_1=-2\cdot 1^2+7=-2+7=5.\)

\(c_2=-2\cdot 2^2+7=\)

\(=-2\cdot4 + 7 = -8 + 7=-1.\)

\(c_3=-2\cdot 3^2+7=\)

\(=-2\cdot9 + 7 = -18 + 7=-11.\)

\(c_4=-2\cdot 4^2+7=\)

\(=-2\cdot16 + 7 = -32 + 7 =-25.\)

\(c_5=-2\cdot 5^2+7=\)

\(=-2\cdot25 + 7 = -50 + 7 = -43.\)

б) \(c_n=\dfrac{100}{n^2-5}\)

\(c_1=\dfrac{100}{1^2-5}=\dfrac{100}{1-5}=\dfrac{100}{-4}=-25.\)

\(c_2=\dfrac{100}{2^2-5}=\dfrac{100}{4-5}=\dfrac{100}{-1}=\)

\(=-100.\)

\(c_3=\dfrac{100}{3^2-5}=\dfrac{100}{9-5}=\dfrac{100}{4}=25.\)

\(c_4=\dfrac{100}{4^2-5}=\dfrac{100}{16-5}=\dfrac{100}{11}=\)

\(=9\dfrac{1}{11}.\)

\(c_5=\dfrac{100}{5^2-5}=\dfrac{100}{25-5}=\dfrac{100}{20}=5.\)

в) \(c_n=-2{,}5\cdot 2^n\)

\(c_1=-2{,}5\cdot 2^1=-2{,}5\cdot 2=-5.\)

\(c_2=-2{,}5\cdot 2^2=-2{,}5\cdot 4=-10.\)

\(c_3=-2{,}5\cdot 2^3=-2{,}5\cdot 8=-20.\)

\(c_4=-2{,}5\cdot 2^4=-2{,}5\cdot 16=-40.\)

\(c_5=-2{,}5\cdot 2^5=-2{,}5\cdot 32=-80.\)

г) \(c_n=3{,}2\cdot 2^{-n}\)

\(c_1=3{,}2\cdot 2^{-1}=3{,}2\cdot \dfrac{1}{2}=1{,}6.\)

\(c_2=3{,}2\cdot 2^{-2}=3{,}2\cdot \dfrac{1}{4}=0{,}8.\)

\(c_3=3{,}2\cdot 2^{-3}=3{,}2\cdot \dfrac{1}{8}=0{,}4.\)

\(c_4=3{,}2\cdot 2^{-4}=3{,}2\cdot \dfrac{1}{16}=0{,}2.\)

\(c_5=3{,}2\cdot 2^{-5}=3{,}2\cdot \dfrac{1}{32}=0{,}1.\)

д) \(c_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{4n}\)

\(c_1=\dfrac{(-1)^{1-1}}{4\cdot 1}=\dfrac{1}{4}.\)

\(c_2=\dfrac{(-1)^{2-1}}{4\cdot 2}=-\dfrac{1}{8}.\)

\(c_3=\dfrac{(-1)^{3-1}}{4\cdot 3}=\dfrac{1}{12}.\)

\(c_4=\dfrac{(-1)^{4-1}}{4\cdot 4}=-\dfrac{1}{16}.\)

\(c_5=\dfrac{(-1)^{5-1}}{4\cdot 5}=\dfrac{1}{20}.\)

е) \(c_n=\dfrac{1-(-1)^n}{2n+1}\)

\(c_1=\dfrac{1-(-1)^1}{2\cdot 1+1}=\dfrac{1-(-1)}{3}=\dfrac{2}{3}.\)

\(c_2=\dfrac{1-(-1)^2}{2\cdot 2+1}=\dfrac{1-1}{5}=0.\)

\(c_3=\dfrac{1-(-1)^3}{2\cdot 3+1}=\dfrac{1-(-1)}{7}=\dfrac{2}{7}.\)

\(c_4=\dfrac{1-(-1)^4}{2\cdot 4+1}=\dfrac{1-1}{9}=0.\)

\(c_5=\dfrac{1-(-1)^5}{2\cdot 5+1}=\dfrac{1-(-1)}{11}=\dfrac{2}{11}.\)

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Первые пять членов последовательности по формуле \(c_n\) находятся подстановкой \(n=1,2,3,4,5\) в эту формулу.

2) Отрицательная степень:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\]

3) Степени числа \((-1)\):

\((-1)^{\text{нечётн.}}=-1,\)

\((-1)^{\text{чётн.}}=1.\)

4) Дробь \(\dfrac{A}{B}\) вычисляется делением (числитель делим на знаменатель и получаем целое число или смешанное число).