Упражнение 631 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[S_n=\frac{n}{n+1}.\]

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}\)

1) При \(n = 1\):

\[\frac{1}{1\cdot 2}= \frac{1}{1+1}\]

\(\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) равенство верно:

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}\).

При \(n = k+1\):

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\)

\(=\frac{k}{k+1} ^{\color{blue}{\backslash k+2}} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\)

\(=\frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}=\)

\(=\frac{k^2+2k + 1}{(k+1)(k+2)}=\)

\(=\frac{(k + 1)^{\cancel2}}{\cancel{(k+1)}(k+2)}=\)

\(=\frac{k + 1}{k+2} =\frac{k + 1}{(k+1)+1}.\)

Формула верна при \(n = k+1\), значит, формула верна при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), используется математическая индукция.

1) База индукции: проверяем верность формулы при \(n=1\).

2) Индукционный шаг: предполагаем, что формула верна для некоторого \(n=k\), и доказываем, что она верна для \(n=k+1\). Для этого к обеим частям равенства добавляется \(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\), затем выражение приводится к общему знаменателю и упрощается до нужного вида \(\frac{k + 1}{(k+1)+1}\).

После выполнения этих двух шагов делаем вывод, что формула справедлива для любого натурального \(n\).

а) \(c_5 = -6,\ c_7 = -54\);

\(|c_6|=\sqrt{c_5\cdot c_7}=\sqrt{-6\cdot(-54)}=\)

\(=\sqrt{324}=18.\)

\(c_6=18\)   или    \(c_6=-18.\) 

\(q=\frac{c_7}{c_6}\)

Тогда:

\(q=\frac{-54}{18}=-3\)

или

 \(q=\frac{-54}{-18}=3.\)

Ответ: \(q =\pm3.\)

б) \(c_6 = 25,\ c_8 = 4\).

\(|c_7|=\sqrt{c_6\cdot c_8}=\sqrt{25\cdot4}=\)

\(=\sqrt{100}=10.\)

\(c_7=10\)   или    \(c_7=-10\)

\(q=\frac{c_7}{c_6}\)

Тогда:

\(q=\frac{10}{25}=0,4\)

или

 \(q=\frac{-10}{25}=-0,4.\)

Ответ: \(q =\pm0,4.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)