Упражнение 629 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\]

Если \(n = 1\), то

\[1^3=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}\]

\[1=\dfrac{1\cdot2^2}{4}\]

\[1=\dfrac{4}{4}\]

\(1 = 1\) - верно.

Если \(n=2\), то

\(1^3+2^3=\dfrac{2^2(2+1)^2}{4}\)

\(1+8=\dfrac{4\cdot3^2}{4}\)

\(9=\dfrac{\cancel4\cdot3^2}{\cancel4}\)

\(9=9\) - верно.

Если \(n=3\), то

\(1^3+2^3+3^3=\dfrac{3^2(3+1)^2}{4}\)

\(1+8+27=\dfrac{9\cdot4^2}{4}\)

\(36 = \dfrac{9\cdot\cancel{16}  ^{\color{blue}{4}} }{\cancel4}\)

\(36 = 36\) - верно.

Доказательство:

1) При \(n = 1\) формула верна.

2) Пусть при \(n = k\) верно:

\(1^3+2^3+\ldots+k^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}\)

Тогда для \(n = k+1\):

\(1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\)

\(\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3  ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\cdot k^2}{4}+\dfrac{4(k+1)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\cdot k^2 + 4(k+1)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\left(k^2+4(k+1)\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} =\)

\(=\dfrac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\)

Значит, формула верна для \(n =k+1\), тогда она верна при любом натуральном \(n\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Сначала формулу проверяют подстановкой небольших значений \(n\). Это показывает, что равенство действительно выполняется для \(n=1,2,3\).

Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), используется математическая индукция.

1) База индукции: проверяем верность формулы при \(n=1\).

2) Индукционный шаг: предполагаем, что формула верна для некоторого \(n=k\), и доказываем, что она верна для \(n=k+1\). Для этого к обеим частям суммы добавляется \((k+1)^3\), затем выражение приводится к общему знаменателю и упрощается до нужного вида \(\dfrac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\).

После выполнения этих двух шагов делаем вывод, что формула справедлива для любого натурального \(n\).

\(\triangle ABC \sim \triangle A_1BC_1\) - по двум углам (\(\angle B - общий, \angle BAC = \angle BA_1C_1\) - как соответственные при параллельных прямых \(AC\) и \( A_1C_1\))

Коэффициент подобия данные треугольников:

\(k=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{A_1C_1}{2A_1C_1}=\frac12\)

\(\frac{S_{A_1BC_1}}{S_{ABC}}=\frac{S}{S_1}=k^2=\frac14\)

Откуда:

\(S_{A_1BC_1}=S_{ABC}\cdot \frac14\)

Аналогично доказываем, что:

\(S_{A_2BC_2}=S_{A_1BC_1}\cdot \frac14\) и т.д.

То есть площадь каждого следующего треугольника получается из площади предыдущего треугольника умножением на \(\frac14\), \(⇒\) \(S, S_1, S_2,...\) - геометрическая прогрессия \(b_n\).

\(b_n=b_1q^{n-1}\), где \(q=k^2=\frac14\), \(b_1=S.\)

Тогда:

\(S_{A_9BC_9}=b_{10}=b_1q^{10-1}=\)

\(=768\cdot\left(\dfrac14\right)^9=\dfrac{768}{4^9}=\)

\(=\dfrac{768}{262144}=\dfrac{3}{1024}\) (см²).

Ответ: \(S_{A_9BC_9}=\dfrac{3}{1024}\) см².

Пояснения:

Правила и факты, которые используются.

1) Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон, параллельна третьей стороне, а отрезки от вершины до этих середины равны половинам соответствующих сторон.

2) Если два треугольника подобны с коэффициентом подобия \(k\), то их площади относятся как \(k^2\):

\( \frac{S_2}{S_1}=k^2. \)

3)  Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.