Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№623 учебника 2023-2026 (стр. 178):
Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии \((b_n)\), в которой \(b_2 = 6\) и \(b_4 = 54\), если известно, что все её члены положительны.
№623 учебника 2014-2022 (стр. 165):
Найдите первые пять членов геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
а) \(b_1 = 6,\ q = 2\);
б) \(b_1 = -16,\ q = \dfrac{1}{2}\);
в) \(b_1 = -24,\ q = -1{,}5\);
г) \(b_1 = 0{,}4,\ q = \sqrt{2}\).
№623 учебника 2023-2026 (стр. 178):
Вспомните:
№623 учебника 2014-2022 (стр. 165):
№623 учебника 2023-2026 (стр. 178):
\(b_2 = 6\); \(b_4 = 54\)
\(|b_3|=\sqrt{b_2\cdot b_4}=\sqrt{6\cdot54}=\)
\(=\sqrt{324}=18\), т.к. все члены прогрессии положительны, то \(b_3=18.\)
\(q=\frac{b_3}{b_1}=\frac{18}{6}=3.\)
\(b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{6}{3} = 2\).
\(\small S_7 = \dfrac{b_1\cdot(q^7-1)}{q-1} =\dfrac{ 2\cdot(3^7-1)}{3-1}=\)
\(=\dfrac{ 2\cdot(2187-1)}{2}=2186\)
Ответ: \(S_7 = 2186.\)
Пояснения:
1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:
\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)
2. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
3. Свойство геометрической прогрессии:
Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.
\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно, \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)
4. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
№623 учебника 2014-2022 (стр. 165):
\((b_n)\) - геометрическая прогрессия.
\(b_{n+1}=b_n \cdot q\)
а) \(b_1 = 6,\ q = 2\);
\(b_1 = 6\)
\( b_2 =b_1 \cdot q= 6\cdot2 = 12\)
\( b_3 =b_2 \cdot q= 12\cdot2 = 24\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= 24\cdot2 = 48\)
\(b_5 =b_4\cdot q= 48\cdot2 = 96\).
Ответ: \(6;\; 12;\; 24;\; 48;\; 96...\;.\)
б) \(b_1 = -16,\ q = \dfrac{1}{2}\);
\(b_1 = -16\)
\( b_2 =b_1 \cdot q= -16\cdot\dfrac12 = -8\)
\(b_3 =b_2 \cdot q= -8\cdot\dfrac12 = -4\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= -4\cdot\dfrac12 = -2\)
\(b_5 =b_4 \cdot q= -2\cdot\dfrac12 = -1\).
Ответ: \(-16;\; -8;\; -4;\; -2;\; -1...\;.\)
в) \(b_1 = -24,\ q = -1{,}5\);
\(b_1 = -24\)
\(b_2 =b_1 \cdot q= -24\cdot(-1{,}5) = 36\)
\(b_3 =b_2 \cdot q= 36\cdot(-1{,}5) = -54\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= -54\cdot(-1{,}5) = 81\)
\(b_5 =b_4 \cdot q= 81\cdot(-1{,}5) = -121{,}5\).
Ответ: \(-24;\; 36;\; -54;\; 81;\; -121,5...\;.\)
г) \(b_1 = 0{,}4,\ q = \sqrt{2}\);
\(b_1 = 0{,}4\)
\(b_2 =b_1 \cdot q= 0{,}4\cdot\sqrt2=0{,}4\sqrt2\)
\(b_3 =b_2 \cdot q= 0{,}4\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2 = 0{,}8\)
\(b_4 =b_3 \cdot q= 0{,}8\cdot\sqrt2=0{,}8\sqrt2\)
\(b_5 =b_4 \cdot q= 0{,}8\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2 = 1{,}6\).
Ответ: \(0{,}4;\; 0{,}4\sqrt2;\; 0,8;\; 0{,}8\sqrt2;\; 1{,}6...\;.\)
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формула для нахождения любого следующего члена геометрической прогрессии:
\[ b_{n+1} = b_n \cdot q. \]
Чтобы найти первые пять членов прогрессии, достаточно последовательно умножать первый член \(b_1\) на знаменатель \(q\).
В пунктах а) и б) знаменатель положительный, поэтому знаки членов либо сохраняются, либо меняются только из-за знака первого члена.
В пункте в) знаменатель отрицательный, поэтому знаки членов прогрессии чередуются.
В пункте г) используется свойство корня: \[ \sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2, \] поэтому каждый второй шаг упрощается до умножения на 2, что позволяет получить числовые значения членов прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника