Упражнение 621 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 177

а) \(x_5 = 1\dfrac{1}{9},\ q = \dfrac13\);

\(x_5 = x_1\cdot q^{4}\)

\(x_1=\frac{x_5}{q^4}=1\frac{1}{9}:\left(\dfrac13\right)^4=\)

\(=\frac{10}{9}:\frac{1}{81}=\frac{10}{9}\cdot81=90.\)

\(\small S_5 = \dfrac{x_1\cdot(q^5-1)}{q-1} = \dfrac{90\cdot\Biggl(\left(\dfrac13\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac13-1}=\)

\(\small = \dfrac{90\cdot\Biggl(\dfrac{1}{243}-1\Biggr)}{-\dfrac23}=\dfrac{90\cdot\Biggl(-\dfrac{242}{243}\Biggr)}{-\dfrac23}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{90}^{\color{red}{10}}\cdot\cancel{242}^{\color{blue}{121}}\cdot\cancel3^{\color{green}{1}}}{\cancel{243}_{\color{red}{\cancel{27}_{\color{green}{9}}}}\cdot\cancel{2}_{\color{blue}{1}}}=\frac{1210}{9}=134\frac{4}{9}.\)

Ответ: \(S_5=134\frac{4}{9}.\)

б) \(x_4 = 121{,}5,\ q = -3\).

\(x_4 = x_1\cdot q^{3}\)

\(\small x_1=\frac{x_4}{q^3}=\frac{121,5}{(-3)^3}=\frac{121,5}{-27}=-4,5\)

\(S_5= \dfrac{x_1\cdot(q^5-1)}{q-1} =\)

\(=\dfrac{-4{,}5\cdot((-3)^5-1)}{-3-1}=\)

\(= \dfrac{-4{,}5\cdot(-243-1)}{-3-1}=\)

\(=\dfrac{-4{,}5\cdot(-244)}{-4} = -274{,}5.\)

Ответ: \(S_5=-274{,}5.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

В пункте а) известен пятый член прогрессии, поэтому сначала из формулы общего члена находится первый член \(x_1\). Затем подставляются значения в формулу суммы при \(n=5\).

В пункте б) аналогично сначала определяется первый член по известному четвёртому члену, после чего вычисляется сумма первых пяти членов. Знак знаменателя \(q\) учитывается при возведении в степень и при вычислении суммы.