Упражнение 621 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x_5 = 1\dfrac{1}{9},\ q = \dfrac13\);

\(x_5 = x_1\cdot q^{4}\)

\(x_1=\frac{x_5}{q^4}=1\frac{1}{9}:\left(\dfrac13\right)^4=\)

\(=\frac{10}{9}:\frac{1}{81}=\frac{10}{9}\cdot81=90.\)

\(\small S_5 = \dfrac{x_1\cdot(q^5-1)}{q-1} = \dfrac{90\cdot\Biggl(\left(\dfrac13\right)^5-1\Biggr)}{\dfrac13-1}=\)

\(\small = \dfrac{90\cdot\Biggl(\dfrac{1}{243}-1\Biggr)}{-\dfrac23}=\dfrac{90\cdot\Biggl(-\dfrac{242}{243}\Biggr)}{-\dfrac23}=\)

\(\small =\dfrac{\cancel{90}^{\color{red}{10}}\cdot\cancel{242}^{\color{blue}{121}}\cdot\cancel3^{\color{green}{1}}}{\cancel{243}_{\color{red}{\cancel{27}_{\color{green}{9}}}}\cdot\cancel{2}_{\color{blue}{1}}}=\frac{1210}{9}=134\frac{4}{9}.\)

Ответ: \(S_5=134\frac{4}{9}.\)

б) \(x_4 = 121{,}5,\ q = -3\).

\(x_4 = x_1\cdot q^{3}\)

\(\small x_1=\frac{x_4}{q^3}=\frac{121,5}{(-3)^3}=\frac{121,5}{-27}=-4,5\)

\(S_5= \dfrac{x_1\cdot(q^5-1)}{q-1} =\)

\(=\dfrac{-4{,}5\cdot((-3)^5-1)}{-3-1}=\)

\(= \dfrac{-4{,}5\cdot(-243-1)}{-3-1}=\)

\(=\dfrac{-4{,}5\cdot(-244)}{-4} = -274{,}5.\)

Ответ: \(S_5=-274{,}5.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти первый член прогрессии, нужно выразить \(b_1\) из этой формулы:

\( b_1 = \dfrac{b_n}{q^{\,n-1}}. \)

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)

В пункте а) известен пятый член прогрессии, поэтому сначала из формулы общего члена находится первый член \(x_1\). Затем подставляются значения в формулу суммы при \(n=5\).

В пункте б) аналогично сначала определяется первый член по известному четвёртому члену, после чего вычисляется сумма первых пяти членов. Знак знаменателя \(q\) учитывается при возведении в степень и при вычислении суммы.

а) \( \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13,\\ 3xy = 2  /\times6 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 9x^2 + 9y^2 = 13,\\ 18xy = 12 \end{cases} \) \((+)\)

\(9x^2 + 9y^2 + 18xy = 13 + 12\)

\((3x)^2 + 2\cdot3x\cdot3y +(3y)^2 = 25\)

\((3x + 3y)^2 = 25\)

\(3x + 3y = \pm5\)

1) \( \begin{cases} 3x + 3y = 5,\\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = 5 - 3x,  / : 3 \\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \dfrac{5 - 3x}{3},\\[6pt] 3x\cdot\dfrac{5 - 3x}{3} = 2 \end{cases} \)

\(\cancel3x\cdot\dfrac{5 - 3x}{\cancel3} = 2\)

\(x(5-3x) = 2\)

\(5x - 3x^2 - 2 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(3x^2 - 5x + 2 = 0\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot3\cdot2 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_{1} = \frac{5 + 1}{2\cdot3} =\frac{6}{6} = 1\).

\(x_{2} = \frac{5 - 1}{2\cdot3} =\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Если \(x = 1\), то

\(y = \dfrac{5 - 3\cdot1}{3} = \dfrac{2}{3}\).

Если \(x = \frac{2}{3}\), то

\(y = \dfrac{5 - 3\cdot\frac{2}{3}}{3} = \dfrac{5 - 2}{3} = \dfrac{3}{3} = 1\).

2) \( \begin{cases} 3x + 3y = -5,\\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3y = -5 - 3x,  / : 3 \\ 3xy = 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y = \dfrac{-5 - 3x}{3},\\[6pt] 3x\cdot\dfrac{-5 - 3x}{3} = 2 \end{cases} \)

\(\cancel3x\cdot\dfrac{-5 - 3x}{\cancel3} = 2\)

\(x(-5 - 3x) = 2\)

\(-5x - 3x^2 - 2 = 0\)  \(/\times (-1)\)

\(3x^2 + 5x + 2 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot3\cdot2 =\)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - два корня.

\(\sqrt1 = 1\)

\(x_{1} = \frac{-5 + 1}{2\cdot3} =-\frac{4}{6} = -\frac23\).

\(x_{2} = \frac{-5 - 1}{2\cdot3} =-\frac{6}{6} = -1\).

Если \(x = -\frac{2}{3}\), то

\(y = \dfrac{-5 - 3\cdot(-\frac{2}{3})}{3} = \dfrac{-5 + 2}{3} =\)

\(=-\dfrac{3}{3} = -1\).

Если \(x = -1\), то

\(y = \dfrac{-5 - 3\cdot(-1)}{3} =\dfrac{-5 + 3}{3} = -\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \(\left(1;\frac{2}{3}\right),\ \left(\frac{2}{3};1\right),\)

\(\left(-1;-\frac{2}{3}\right),\ \left(-\frac{2}{3};-1\right)\)

б) \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 29,  \\ y^2 - 4x^2 = 9    /\times(-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 29,  \\ 4x^2 - y^2 = -9 \end{cases} \)  \((+)\)

\(( x^2 + y^2) + (4x^2 - y^2) = 29 + (-9)\)

\( x^2 + \cancel{y^2} + 4x^2 - \cancel{y^2} = 20\)

\(5x^2 = 20\)

\(x^2 = \frac{20}{5}\)

\(x^2 = 4\)

\(x = \pm2\)

Если \(x = 2\), то

\(2^2 + y^2 = 29\)

\(4 + y^2 = 29\)

\(y^2 = 29 - 4\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm5\)

Если \(x = -2\), то

\((-2)^2 + y^2 = 29\)

\(4 + y^2 = 29\)

\(y^2 = 29 - 4\)

\(y^2 = 25\)

\(y = \pm5\)

Ответ: \((2;5),\,(2;-5),\)

\((-2;5),(-2;-5)\).

Пояснения:

Системы решаем с помощью методов сложения (вычитания) и подстановки.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1) подобрав "выгодные" множители (если это необходимо), преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;

5) вычислить значение другой переменной.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом подстановки:

1) выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;

3) решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;

4) подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;

5) вычислить значение другой переменной.

Использованные приемы:

Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Распределительное свойство:

\(k(a \pm b) = ka \pm kb\).

Квадратное уравнение

\(a^2 + bx + c = 0\)

решаем через дискриминант

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Неполное квадратное уравнение

\(x^2 = a\), при \(a > 0\) имеет корни

\(x_1 = \sqrt a\) и \(x_2 = \sqrt a\).

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\(ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 \) или \(b = 0\).