Вернуться к содержанию учебника
Первый член геометрической прогрессии равен \(2\), а пятый равен \(162\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии, если известно, что её члены с чётными номерами отрицательны, а с нечётными — положительны.
Введите текст
\(b_1 = 2,\ b_5 = 162\).
\(b_5 = b_1\cdot q^{5-1}\).
\(162 = 2\cdot q^4\).
\(q^4 = 81\).
\(q = -3\) (так как члены с чётными номерами отрицательны).
\(b_1 = 2\).
\(b_2 = 2\cdot(-3) = -6\).
\(b_3 = -6\cdot(-3) = 18\).
\(b_4 = 18\cdot(-3) = -54\).
\(b_5 = -54\cdot(-3) = 162\).
\(b_6 = 162\cdot(-3) = -486\).
\(S_6 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6\).
\(S_6 = 2 - 6 + 18 - 54 + 162 - 486\).
\(S_6 = -364.\)
Пояснения:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).
Основная формула геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Из условия задачи известно, что первый член положительный, а члены с чётными номерами отрицательны. Это возможно только в том случае, если знаменатель прогрессии отрицателен.
Используя значения \(b_1\) и \(b_5\), находится \(q^4 = 81\). Возможны значения \(q=3\) и \(q=-3\), но по условию задачи выбирается \(q=-3\).
После нахождения знаменателя последовательно вычисляются первые шесть членов прогрессии и их сумма.
Ответ: сумма первых шести членов равна \(-364\).
Вернуться к содержанию учебника