Упражнение 504 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) и \(y\) - искомые числа.

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} xy=15(x+y),\\ x + 2y=100 \end{cases}\) 

\(\begin{cases} (100-2y)y=15(100 - 2y+y),\\ x =100 - 2y \end{cases}\) 

\((100-2y)y=15(100 - 2y+y)\)

\(100y - 2y^2 = 15(100 - y)\)

\(100y - 2y^2 = 1500 - 15y\)

\(100y - 2y^2 - 1500 + 15y = 0\)

\(2y^2-115y+1500=0\)

\(D=115^2-4\cdot2\cdot1500=\)

\(=13225-12000=1225 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{1225}=35\)

\(y_1=\dfrac{115+35}{4} = \dfrac{150}{4}=37{,}5\).

\(y_2=\dfrac{115-35}{4} = \dfrac{80}{4}=20\).

Если \(y = 37,5\), то

\(x=100-2\cdot37{,}5 = 100 - 75 =25\).

Если \(y=20\), то

\(x=100-2\cdot20 = 100 - 40=60\).

Ответ: \(25\) и \(37{,}5\) или \(60\) и \(20\).

Пояснения:

Введём обозначения, так как задача текстовая: \(x\) — первое число, \(y\) — второе число. Это позволяет записать условия задачи в виде уравнений.

Фраза «произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы» означает равенство:

\[xy=15(x+y).\]

Второе условие «к первому числу прибавить удвоенное второе» переводится в уравнение:

\[x+2y=100.\]

Из этих двух уравнений составили систему.

При решении системы использовали метод подстановки. Из линейного уравнения удобно выразить одну переменную и подставить в другое уравнение. После подстановки получается квадратное уравнение относительно \(y\):

\(ay^2 + by + c = 0\),

которое решается с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D> 0\), то уравнение имеет два корня:

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Каждое найденное значение \(y\) подставляется обратно в формулу \(x=100-2y\). В результате получаем две пары чисел, обе удовлетворяют условиям задачи.

а) \((x+2)^2 + 9(x+2) + 20 = 0\);

Пусть \(x + 2=t\). 

\( t^2 + 9t + 20 = 0\)

\(a=1, b=9, c=20\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(9^2 - 4\cdot1\cdot20 = 81 - 80 = 1>0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D }{2a},  \sqrt D =1.\]

\( t_1 = \frac{-9 + 1}{2} = -4\)

\(t_2 = \frac{-9 - 1}{2} = -5. \)

1) Если \(t=-4,\) то 

\( x + 2 = -4\)

\( x = -4-2\)

\(x = -6.\)

2) Если \(t=-5,\) то 

\( x + 2 = -5\)

\( x = -5-2\)

\(x = -7. \)

Ответ: \(x = -6, x= -7.\)

б) \((x-5)^2 + 2(x-5) - 63 = 0.\)

Пусть \(x - 5=t\).

\( t^2 + 2t - 63 = 0. \)

\(a=1, b=2, c=-63\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-63) =\)

\(=4 + 252 = 256. \)

\[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D }{2a},  \sqrt D =16.\]

\( t_1 = \frac{-2 + 16}{2} = 7\)

\( t_2 = \frac{-2 - 16}{2} = -9\)

1) Если \(t=7,\) то 

\( x - 5 = 7\)

\( x = 7+5\)

\(x = 12\)

2) Если \(t=-9,\) то 

\( x - 5 = -9\)

\( x= -9+5\)

\(x = -4.\)

Ответ: \(x = 12, x=-4.\)

Пояснения:

1. В обоих уравнениях удобно сделать замену вида \( x + a=t\), чтобы избавиться от скобок и привести выражение к стандартному квадратному уравнению.

2. После замены получаются обычные квадратные уравнения:

\( t^2 + 9t + 20 = 0\)

\( t^2 + 2t - 63 = 0, \) которые решаются с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \) где \(D=b^2-4ac\)

3. После нахождения значений \(t\) нужно вернуться к исходной переменной \(x\), подставив \[ x + 2=t \quad \text{или} \quad x - 5=t. \]

Таким образом, каждое уравнение имеет по два корня.