Упражнение 494 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x^2+y^2=40,\\ xy=-12   /\times2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2+y^2=40,\\ 2xy=-24 \end{cases}\)   \((+)\)

\(x^2+2xy+y^2=40-24\)

\((x+y)^2=16\)

\(x+y=\pm4\)

1) \(\begin{cases} x+y=4,\\ xy=-12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=4-x,\\ x(4-x)=-12 \end{cases}\)

\(x(4-x)=-12\)

\(4x -x^2 + 12 =0\)  \(/\times(-1)\)

\(x^2 - 4x - 12 =0\)

\(D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-12)=\)

\(= 16 + 48 = 64 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{64} = 8\).

\(x_1 = \frac{4 + 8}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{4 - 8}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

Если \(x = 6\), то

\(y = 4 -6 = -2\).

Если \(x = -2\), то

\(y = 4 -(-2)=4+2= 6\).

2) \(\begin{cases} x+y=-4,\\ xy=-12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y=-4-x,\\ x(-4-x)=-12 \end{cases}\)

\(x(-4-x)=-12\)

\(-4x -x^2 + 12 =0\)  \(/\times(-1)\)

\(x^2 + 4x - 12 =0\)

\(D = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-12)=\)

\(= 16 + 48 = 64 > 0\) - два корня.

\(\sqrt{64} = 8\).

\(x_1 = \frac{-4 + 8}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

\(x_2 = \frac{-4 - 8}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).

Если \(x = 2\), то

\(y = -4 -2 = -6\).

Если \(x = -6\), то

\(y = -4 -(-6)=-4+6= 2\).

Ответ: \((6,-2),\; (-2,6),\; (2,-6),\; (-6,2)\)

б) \(\begin{cases} x^2+2y^2=228,\\ 3x^2-2y^2=172 \end{cases}\)   \((+)\)

\(\left(x^2+3x^2\right)+\left(2y^2-2y^2\right)=228+172\)

\(4x^2=400\)

\(x^2 = \frac{400}{4}\)

\(x^2=100\)

\(x = \pm\sqrt{100}\)

\(x=\pm10\)

1) Если \(x = 10\), то

\(10^2+2y^2=228\)

\(100+2y^2=228\)

\(2y^2=228-100\)

\(2y^2=128\)

\(y^2 = \frac{128}{2}\)

\(y^2=64\)

\(y = \pm\sqrt{64}\)

\(y=\pm8\)

2) Если \(x = -10\), то

\((-10)^2+2y^2=228\)

\(100+2y^2=228\)

\(y=\pm8\)

Ответ: \((10,8),\; (10,-8),\; (-10,8),\; (-10,-8)\)

Пояснения:

а) При решении системы сначала домножили второе уравнение системы на \(2\) и, сложив уравнения системы, получили два линейных уравнения. Составили с этими уравнениями и вторым уравнением исходной системы (можно и с первым) две новые системы, которые решили методом подстановки. Из линейного уравнения выразили переменную \(y\), подставили полученное выражение во второе уравнение, в результате чего получилось квадратное уравнение с одной переменной \(x\). Решив полученное уравнение, нашли два значения переменной \(x\), далее нашли соответствующие значения переменной \(y\).

б) При решении системы уравнений использовали метод сложения. Сложив уравнения системы, получили уравнение с одной переменной, решив которое нашли два значения переменной \(x\). Подставив полученные значения \(x\) в одно из уравнений исходной системы, нашли соответствующие значения \(y\).

\(\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x - 1}{x + 1}\)

\(x^2 + 3x + 2=0\)

\(D =b^2-4ac= 3^2 - 4\cdot1\cdot2 = \)

\(=9-8 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D=\sqrt 1 = 1.\)

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\frac{-3+1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1\)

\(x_{2}=\frac{-3-1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\)

\(x^2 + 3x + 2=(x+1)(x+2).\)

\(\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} =\)

\(=\frac{x - 1}{x + 2}^{\color{red}{\backslash{x+1}}} - \frac{1 - x}{(x+1)(x+2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)}{(x+1)(x + 2)} - \frac{1 - x}{(x+1)(x+2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)}{(x+1)(x + 2)} - \frac{1 - x}{(x+1)(x+2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)-(1-x)}{(x+1)(x + 2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1)+(x-1)}{(x+1)(x + 2)} =\)

\(=\frac{(x - 1)(x+1+1)}{(x+1)(x + 2)} =\)

\(=\frac{(x-1)\cancel{(x+2)}}{(x+1)\cancel{(x + 2)}}= \frac{x - 1}{x + 1}.\)

Пояснения:

1. Сначала раскладываем квадратный трехчлен в знаменателе второй дроби на множители, найдя его корни, используя формулы:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), где \(D =b^2-4ac\) 

Получаем:

\(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).\)

2. Определяем общий знаменатель \((x + 1)(x + 2)\) для обеих дробей.

3. Первую дробь приводим к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на \((x + 1)\):

\(\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 2)(x + 1)}.\)

4. Вычитаем дроби с общим знаменателем, для этого вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и оставляем общий знаменатель:

\(\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} - \frac{1-x}{(x + 1)(x + 2)}=\)

\(= \frac{(x - 1)(x + 1) - (1-x)}{(x + 1)(x + 2)}.\)

5. Вносим знак минус в скобки:

 \(\frac{(x - 1)(x+1)+(x-1)}{(x+1)(x + 2)}\)

6. В числителе выносим общий множитель \((x - 1)\), получаем дробь

\[\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)}.\]

7. Сокращаем полученную дробь на общий множитель \((x + 2)\), в итоге получаем, что:

\(\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{1 - x}{x^2 + 3x + 2} = \frac{x - 1}{x + 1}.\)