Упражнение 805 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 204

а) \( \begin{cases} 2x-3(x+1) 0  \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2x-3x-3 0  \end{cases} \)

\(\begin{cases}-x-x<8+3,\\ -6x+6>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x-x<8+3,\\ -6x+6>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-x-x<8+3,\\ -6x+6>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-2x<11,    \color{red}{|:(-2)}\\ -6x>-6      \color{red}{|:(-6)}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x>\frac{11}{-2},\\ x<\frac{-6}{-6}\end{cases}\)

\(\begin{cases}x>-5,5,\\ x<1\end{cases}\)

Ответ: \((-5,5; 1).\)

б) \(\begin{cases}10(x-1)-5(x+1)>4x-11,\\ x^2-(x+2)(x-2)<3x;\end{cases}\)

\(10(x-1)-5(x+1)>4x-11\)

\(10x-10-5x-5>4x-11\)

\(5x-15>4x-11\)

\(5x-4x>-11+15\)

\(x>4\)

\(x^2-(x+2)(x-2)<3x\)

\(x^2-(x^2-4)<3x\)

\(x^2-x^2+4<3x\)

\(4<3x\)

\(x>\dfrac{4}{3}\)

\(x>4\) и \(x>\dfrac{4}{3}\)

\(x>4\)

в) \(\begin{cases}7-3x-4(3-1{,}5x)<0,\\ -6(1+2{,}5x)-10x-4>0;\end{cases}\)

\(7-3x-4(3-1{,}5x)<0\)

\(7-3x-12+6x<0\)

\(3x-5<0\)

\(x<\dfrac{5}{3}\)

\(-6(1+2{,}5x)-10x-4>0\)

\(-6-15x-10x-4>0\)

\(-25x-10>0\)

\(-25x>10\)

\(x<-\dfrac{2}{5}\)

\(x<\dfrac{5}{3}\) и \(x<-\dfrac{2}{5}\)

\(x<-\dfrac{2}{5}\)

г) \(\begin{cases}2(1{,}5x-1)-(x+4)(x+4)\ge 0,\\ (-2-x)-0{,}75x\le 0;\end{cases}\)

\(2(1{,}5x-1)-(x+4)(x+4)\ge 0\)

\(3x-2-(x^2+8x+16)\ge 0\)

\(-x^2-5x-18\ge 0\)

\(x^2+5x+18\le 0\)

\(D=5^2-4\cdot 1\cdot 18=25-72=-47\)

\(x^2+5x+18>0\)

\(\varnothing\)

д) \(\begin{cases}x-\dfrac{4x-1}{3}<10,\\ 4x-1-\dfrac{x}{3}<10;\end{cases}\)

\(x-\dfrac{4x-1}{3}<10\)

\(3x-(4x-1)<30\)

\(3x-4x+1<30\)

\(-x<29\)

\(x>-29\)

\(4x-1-\dfrac{x}{3}<10\)

\(12x-3-x<30\)

\(11x-3<30\)

\(11x<33\)

\(x<3\)

\(x>-29\) и \(x<3\)

\(-29

е) \(\begin{cases}3y-\dfrac{2y+1}{2}>4-\dfrac{2-y}{3}-y,\\ \dfrac{5y-1}{3}-(y-1)>3y.\end{cases}\)

\(3y-\dfrac{2y+1}{2}>4-\dfrac{2-y}{3}-y\)

\(6\left(3y-\dfrac{2y+1}{2}\right)>6\left(4-\dfrac{2-y}{3}-y\right)\)

\(18y-3(2y+1)>24-2(2-y)-6y\)

\(18y-6y-3>24-4+2y-6y\)

\(12y-3>20-4y\)

\(12y+4y>20+3\)

\(16y>23\)

\(y>\dfrac{23}{16}\)

\(\dfrac{5y-1}{3}-(y-1)>3y\)

\(\dfrac{5y-1}{3}-y+1>3y\)

\(3\left(\dfrac{5y-1}{3}-y+1\right)>9y\)

\(5y-1-3y+3>9y\)

\(2y+2>9y\)

\(2>7y\)

\(y<\dfrac{2}{7}\)

\(y>\dfrac{23}{16}\) и \(y<\dfrac{2}{7}\)

\(\varnothing\)

Пояснения:

Правила и приёмы, которые использовались:

1) Раскрытие скобок (распределительный закон): \((u+v)k=uk+vk\), \((u-v)k=uk-vk\), \((u+v)(p+q)=up+uq+vp+vq\).

2) Приведение подобных: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

3) Перенос слагаемого через знак неравенства меняет его знак.

4) Деление на положительное число знак не меняет, деление на отрицательное число знак меняет на противоположный.

5) Решение системы — пересечение решений всех неравенств (должны выполняться одновременно).

а) После раскрытия скобок в первом неравенстве получаем линейное \(-2x<11\), при делении на \(-2\) знак меняется и выходит \(x>-\dfrac{11}{2}\). Во втором неравенстве после раскрытия скобок сокращаются квадраты и остаётся \(-6(x-1)>0\), то есть \(x<1\). Пересечение: \(-\dfrac{11}{2}

б) Оба неравенства приводятся к линейным: \(x>4\) и \(x>\dfrac{4}{3}\). Пересечение — более строгое \(x>4\).

в) Первое даёт \(x<\dfrac{5}{3}\), второе после деления на \(-25\) (знак меняется) даёт \(x<-\dfrac{2}{5}\). Пересечение: \(x<-\dfrac{2}{5}\).

г) Первое неравенство превращается в \(x^2+5x+18\le 0\). Так как \(D<0\) и коэффициент при \(x^2\) положительный, выражение всегда положительно, значит решений нет, и вся система не имеет решений.

д) Оба неравенства линейные: \(x>-29\) и \(x<3\). Пересечение: \(-29

е) Первое неравенство после умножения на 6 даёт \(16y>23\), то есть \(y>\dfrac{23}{16}\). Второе даёт \(y<\dfrac{2}{7}\). Эти условия несовместимы, поэтому решений нет.

Ответ: а) \(-\dfrac{11}{2}