стр. 87 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого - целые выражения.

Примеры:

\(2x^3=5x-1,\)

\(x + \frac12 = 8x^2 -7.\)

2) Если уравнение с одной переменной записано в виде \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) - многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения. Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) - многочлен стандартного вида.

3) Уравнения вида \(ax^4+bx^2+c=0\), где \(a\ne0\), являющиеся квадратными относительно \(x^2\), называют биквадратными уравнениями.

Решение биквадратного уравнения:

вводят замену \[t=x^2,\] получают квадратное уравнение \[at^2+bt+c=0.\] Находят корни \(t_1,t_2\), потом для каждого неотрицательного корня решают \[x^2=t,\] то есть \[x=\pm\sqrt{t}.\]

4) Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого - рациональные выражения, причем хотя бы одно из них является дробным выражением.

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

• находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
• умножают обе части уравнения на этот знаменатель;
• решают получившееся целое уравнение;
• исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

\[\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x-3}=\frac{x^2-7}{x^2-4x+3}\]

1) Раскладываем на множители квадратный трехчлен \(x^2-4x+3\):

\(x^2-4x+3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot3 = \)

\(=16 - 12 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_1 = \frac{4 + 2}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)

\(x_2 = \frac{4 - 2}{2\cdot1} = \frac{2}{2} = 1.\)

\(x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)\)

Значит, общий знаменатель дробей, входящих в уравнение \((x - 1)(x - 3)\).

2) Найдем ОДЗ (область допустимых значений), то есть определим те значения \(x\), при которых знаменатель обращается в нуль:

\(x - 1 \ne0\)   и   \(x - 3 \ne 0\)

\(x \ne 1\)               \(x \ne 3\)

3) Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:

\(\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x-3}=\frac{x^2-7}{(x - 1)(x - 3)}\) \(/\times (x - 1)(x - 3)\)

Получим целое уравнение:

\(4(x-3)+1(x-1)=x^2-7\)

Раскрываем скобки и приводим подобные:

\(4x-12+x-1=x^2-7\)

\(5x-13=x^2-7\)

\(x^2-5x+6 = 0\)

4) Решаем квадратное уравнение:

\(x^2-5x+6=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = 6\)

\(D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = \)

\(= 25 - 24 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 1\).

\(x_1 = \frac{5 + 1}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3.\)

\(x_2 = \frac{5 - 1}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2.\)

5) Сверяем с ОДЗ:

Число \(x=3\) не подходит, остаётся \(x=2.\)

Ответ: \(x=2\).