стр. 62 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Определение:

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида

\(y=ax^2+bx+c,\)

где \(x\) - независимая переменная, \(a, b\) и \(c\) - некоторые числа, причём \(a\ne0.\)

2)  Графиком функции \(y=ax^2\) является парабола, которая получается из параболы  \(y=x^2\) растяжением  от оси \(x\) в \(a\) раз, если \(a>1\), и сжатием к оси \(x\) в \(\frac1a\) раза, если \(0\lt a\lt 1\)  

 а) Свойства функции \(y=ax^2\) при \(a>0.\)

1. Область определения функции - множество всех чисел, т.е. \(D(y)=(-\infty; +\infty).\)
2. Если \(x=0\), то \(y=0\). График функции проходит через начало координат.
3. Если \( x\ne0 \), то \(y>0\). График функции расположен в верхней полуплоскости.
4. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции; график  функции симметричен относительно оси \(y.\) Функция является четной.
5. Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 0]\) и возрастает на промежутке \([0; +\infty)\).
6. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при \(x=0\), наибольшего значения функция не имеет. 
7. Множество значений функции - множество неотрицательных чисел, т.е. \(E(y)=[0; +\infty)\).

б) Свойства функции \(y=ax^2\) при \(a<0.\)

1. Область определения функции - множество всех чисел, т.е. \(D(y)=(-\infty; +\infty).\)
2. Если \(x=0\), то \(y=0\). График функции проходит через начало координат.
3. Если \( x\ne0 \), то \(y<0\). График функции расположен в нижней полуплоскости.
4. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции; график  функции симметричен относительно оси \(y.\) Функция является четной. 
5. Функция возрастает на промежутке \( (-\infty; 0]\) и убывает на промежутке \([0; +\infty)\).
6. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при \(x=0\), наименьшего значения функция не имеет. 
7. Множество значений функции - множество неположительных чисел, т.е. \(E(y)=(-\infty; 0]\).

3) а)  График функции \(y=ax^2+n\) является параболой, которую можно получить из графика функции \(y=ax^2\) с помощью параллельного  переноса вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх, если \(n>0,\) или на \(-n\) единиц вниз, если \(n<0.\)

б)  График функции \(y=a(x-m)^2\) является параболой, которую можно получить из графика функции \(y=ax^2\) с помощью параллельного переноса вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо, если \(m>0\), или на \(-m\) единиц влево, если \(m<0\). 

в)  График функции \(y=a(x-m)^2+n\) является параболой, которую можно получить из графика функции функции \(y=ax^2\) с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо, если \(m>0\), или на \(-m\) единиц влево, если \(m<0\), и сдвига вдоль оси \(y\) на  на \(n\) единиц вверх, если \(n>0,\) или на \(-n\) единиц вниз, если \(n<0.\)

4)  Графиком функции \(y=ax^2+bx+c\) является парабола, которую можно получить из графика функции \(y=ax^2\) с помощью двух параллельных переносов - сдвига вдоль оси \(x\) и сдвига вдоль оси \(y.\) Вершиной данной параболы является точка \((m; n),\) где \(m=-\frac{b}{2a}\), \(n=-\frac{b^2-4ac}{4a.}\) Заметим, что ординату \(n\) можно находить, подставив найденное значение абсциссы в формулу  \(y=ax^2+bx+c\). Осью симметрии параболы является прямая \(x=m,\) параллельная оси \(y.\) При \(a>0\) ветви параболы направленны вверх, а при \(a<0\) - вниз.

Пример:

\(y = 2x^2 - 12x + 16\).

1. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх \((a=2>0).\)

2. \(m=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{2\cdot2}=3,\)

\(n = 2\cdot3^2 - 12\cdot3 + 16=-2\).

Вершина параболы: \((3; -2)\). Прямая \(x=3\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции:

\(2x^2 - 12x + 16=0\)    \(|:2\)

\(x^2 - 6x + 8=0\) 

\(D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=\)

\(=36-32=4,\) \(\sqrt{D}=2\)

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( x_{1} = \frac{6+2}{2}=4\)

\( x_{2} = \frac{6-2}{2}=2\)

\((4; 0)\) и \((2; 0)\) - точка пересечения с осью \(x.\)

4. Точка пересечения с осью \(y:\)

\(x=0:\) \(y = 2\cdot0^2 - 12\cdot0 + 16=16\).

\((0; 16).\)