стр. 178 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число.

Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

2) Для любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго:

\(b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}\).

3) Формула \(n\)-го члена:

\(b_n = b_1\cdot q^{\,n-1}\).

Формула суммы первых \(n\) членов (при \(q \ne 1\)):

\(S_n = b_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\).

Пояснения:

1. Определение геометрической прогрессии.

Последовательность чисел \((b_1, b_2, b_3, \ldots)\) называется геометрической прогрессией, если существует число \(q\), такое что для любого \(n \ge 1\) выполняется равенство:

\[ b_{n+1} = b_n\cdot q. \]

Число \(q\) называют знаменателем геометрической прогрессии. Оно показывает, во сколько раз каждый следующий член отличается от предыдущего.

2. Свойство членов геометрической прогрессии.

Из определения геометрической прогрессии следует:

\[ b_n = b_{n-1}\cdot q,\quad b_{n+1} = b_n\cdot q. \]

Перемножая эти равенства, получаем:

\[ b_{n-1}\cdot b_{n+1} = (b_n\cdot q)\cdot\frac{b_n}{q} = b_n^2. \]

Следовательно, квадрат любого члена (кроме первого) равен произведению соседних членов.

3. Формулы геометрической прогрессии.

Формула \(n\)-го члена выводится из многократного умножения на знаменатель:

\[ b_n = b_1\cdot q^{\,n-1}. \]

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) выражается формулой:

\[ S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n = b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}. \]

Эти формулы являются основными при решении задач на геометрическую прогрессию.