Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1109 учебника 2023-2025 (стр. 248):
Выясните, пересекаются ли прямая и гипербола. Если да, то найдите точки пересечения.
а) прямая \(y = x + 1\) и гипербола \(y = \dfrac{2}{x}\);
б) прямая \(y = -2x - 2\) и гипербола \(y = \dfrac{1}{x}\).
№1109 учебника 2013-2022 (стр. 254):
Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключённую между дробями \(\dfrac{5}{14}\) и \(\dfrac{5}{12}\).
№1109 учебника 2023-2025 (стр. 248):
Вспомните:
№1109 учебника 2013-2022 (стр. 254):
Вспомните:
№1109 учебника 2023-2025 (стр. 248):
а) \( \begin{cases}y = x + 1, \\ y = \dfrac{2}{x} \end{cases} \)
\( \begin{cases}\dfrac{2}{x} = x + 1, \\ y = \dfrac{2}{x} \end{cases} \)
\(\dfrac{2}{x} = x + 1\) \(\color{red}|\times x\), \(x\ne0\)
\({2} = x^2 + x\)
\(x^2 + x-2=0\)
\( D =b^2-4ac= 1^2 - 4\cdot 1 \cdot (-2) =\)
\(= 1+8=9,\) \(\sqrt D = 3\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\( x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} =1\)
\( x_2= \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} =-2\)
Для \(x=1:\)
\(y=1+1=2\)
Для \(x=-2:\)
\(y=-2+1=-1.\)
Точки пересечения: \((1;2)\), \((-2;-1)\).
Ответ: точки пересечения: \((1;2)\), \((-2;-1)\).
б) \( \begin{cases}y = -2x - 2, \\y = \dfrac{1}{x} \end{cases} \)
\( \begin{cases}\dfrac{1}{x} = -2x - 2, \\y = \dfrac{1}{x} \end{cases} \)
\(\dfrac{1}{x} =-2x - 2\) \(\color{red}|\times x\), \(x\ne0\)
\( 1=-2x^2 - 2x \)
\( 2x^2 + 2x + 1 = 0 \)
\( D =b^2-4ac= 2^2 - 4\cdot 2 \cdot 1 =\)
\(=4 - 8 = -4 < 0. \)
Корней нет, значит решений нет. Следовательно, прямая и гипербола не пересекаются.
Ответ: прямая и гипербола не пересекаются.
Пояснения:
Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.
При решении каждой системы использовали метод подстановки:
1) Для этого подставляют значение переменной \(y\) в уравнение прямой второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;
2) решают получившиеся уравнение с одной переменной;
3) находят соответствующие значения второй переменной.
После подстановки и преобразований в каждом пункте получили полное квадратное уравнение вида
\(ax^2 + bx + c = 0\)
В первом случае получили дискриминант \(D = b^2 - 4ac >0\), следовательно, данное уравнение имеет два корня:
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).
В первом случае получили дискриминант \(D = b^2 - 4ac <0\), следовательно, данное уравнение не имеет корней.
№1109 учебника 2013-2022 (стр. 254):
Пусть \(\frac{n}{21}\) - искомая дробь.
\(\dfrac{5}{14} ^{\color{blue}{\backslash6}} < \frac{n}{21} ^{\color{blue}{\backslash4}} < \dfrac{5}{12} ^{\color{blue}{\backslash7}} \)
\(\dfrac{30}{84} < \frac{8n}{84} < \dfrac{35}{84} \)
\(30 < 8n < 35\)
\(n = 4\)
Ответ: \( \dfrac{8}{21}. \)
Пояснения:
Чтобы найти дробь, заключённую между двумя другими, нужно сравнить их, приведя к общему знаменателю.
Обозначив искомую дробь \(\frac{n}{21}\), имеем:
\(\dfrac{5}{14} < \frac{n}{21} < \dfrac{5}{12} \).
Приводим дроби к знаменателю 84, получаем:
\(\dfrac{30}{84} < \frac{8n}{84} < \dfrac{35}{84} \).
По правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями имеем:
\(30 < 8n < 35\).
Значит, \(n = 4\), следовательно, искомая дробь \( \dfrac{8}{21}. \)
Вернуться к содержанию учебника