Упражнение 1111 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\small{\left(\dfrac{a+1}{a^2+1-2a}+\dfrac{1}{a-1}\right)\cdot\dfrac{a-1}{a}-\dfrac{2}{a-1}=0;}\)

\(\small{\left(\dfrac{a+1}{a^2+1-2a}+\dfrac{1}{a-1}\right)\cdot\dfrac{a-1}{a}-\dfrac{2}{a-1}=}\)

\(= \small{\left(\frac{a+1}{(a-1)^2}+\frac{1}{a-1} ^{\color{red}{\backslash{a-1}} }\right)\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1} =}\)

\(=\small{\left(\frac{a+1+(a-1)}{(a-1)^2}\right)\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1} =}\)

\(=\frac{2a}{(a-1)^2}\cdot\frac{a-1}{a}-\frac{2}{a-1} =\)

\(=\frac{2}{a-1}-\frac{2}{a-1}=0. \)

(Ограничения: \(a\ne1,\;a\ne0\).)

б) \(\small{\left(\dfrac{1+x}{x^2-xy}-\dfrac{1-y}{y^2-xy}\right)\cdot\dfrac{x^2y-y^2x}{x+y}=1;}\)

\(\small{=\left(\dfrac{1+x}{x^2-xy}-\dfrac{1-y}{y^2-xy}\right)\cdot\dfrac{x^2y-y^2x}{x+y}=}\)

\(\small{=\left(\dfrac{1+x}{x(x-y)}-\dfrac{1-y}{y(y-x)}\right)\cdot\dfrac{xy(x-y)}{x+y}=}\)

\(\small{=\left(\dfrac{1+x}{x(x-y)}^{\color{red}{\backslash{y}}} +\dfrac{1-y}{y(x-y)}^{\color{red}{\backslash{x}}}\right)\cdot\dfrac{xy(x-y)}{x+y}=}\)

\(\small{=\left(\dfrac{(1+x)y}{xy(x-y)} +\dfrac{(1-y)x}{xy(x-y)}\right)\cdot\dfrac{xy(x-y)}{x+y}=}\)

\(\small{=\left(\dfrac{(1+x)y+(1-y)x}{xy(x-y)}\right)\cdot\dfrac{xy(x-y)}{x+y}=}\)

\(\small{=\left(\dfrac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)}\right)\cdot\dfrac{xy(x-y)}{x+y}=}\)

\(\small{=\dfrac{y+x}{xy(x-y)}\cdot\dfrac{xy(x-y)}{x+y}=}\)

\(\small{=\dfrac{(y+x)\cdot xy(x-y)}{xy(x-y)\cdot(x+y)}=1}\)

(Ограничения: \(x\ne0,\;y\ne0,\;x\ne y,\;x\ne -y\).)

в) \(\small{3a\!\left(\dfrac{1}{a-c}-\dfrac{c}{\,a^3-c^3\,}\cdot\dfrac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)-}\)

\(\small{-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=3}\)

\(\small{3a\!\left(\dfrac{1}{a-c}-\dfrac{c}{\,a^3-c^3\,}\cdot\dfrac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)-}\)

\(\small{-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=}\)

\(=\small{3a\!\left(\dfrac{1}{a-c}-\dfrac{c}{\,a^3-c^3\,}\cdot\dfrac{a^2+c^2+ac}{a+c}\right)-}\)

\(\small{-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=}\)

\(=\small{3a\!\left(\dfrac{1}{a-c}-\dfrac{c(a^2+c^2+ac)}{(a-c)(a^2+ac+c^2)(a+c)}\right)-}\)

\(\small{-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=}\)

\(=\small{3a\!\left(\dfrac{1}{a-c}^{\color{red}{\backslash{a+c}}}-\dfrac{c}{(a-c)(a+c)}\right)-}\)

\(\small{-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=}\)

\(=\small{3a\cdot\dfrac{a+c-c}{a^2-c^2}-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=}\)

\(=\small{\dfrac{3a^2}{a^2-c^2}-\dfrac{3c^2}{a^2-c^2}=}\)

\(=\small{\dfrac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2}=3\cdot\dfrac{a^2-c^2}{a^2-c^2}}=3\)

 (Ограничения: \(a\ne c,\;a\ne -c\).)

Пояснения:

В каждом пункте использованы стандартные приёмы тождественных преобразований дробей:

— приведение к общему знаменателю и сокращение одинаковых множителей;

— формулы сокращенного умножения:

Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

Разность квадратов двух выражений:

\(a^2-c^2=(a-c)(a+c)\)

Разность кубов двуз выражений: 

\(a^3-c^3=(a-c)(a^2+ac+c^2)\)

— вынесение общих множителей:

\(x^2y-y^2x=xy(x-y)\)

\(x^2-xy=x(x-y)\)

\(y^2-xy=y(y-x)\).

Указанные ограничения на переменные необходимы, чтобы ни один знаменатель не обращался в нуль.

\( x^{2} - 2x + y^{2} - 4y + 5 = 0 \)

\( (x^{2} - 2x + 1) - 1 + (y^{2} - 4y + 4) - 4 + 5 = 0 \)

\( (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 0 \)

\( (x - 1)^{2} =0\)       \( (y - 2)^{2} = 0 \)

\( x - 1 =0\)             \( y - 2 = 0 \)

\( x = 1\)             \( y = 2 \)

Ответ: \( x = 1\), \( y = 2. \)

Пояснения:

При решении уравнения используем метод выделения полного квадрата:

\[ (x - a)^{2} = x^{2} - 2ax + a^{2}. \]

Получим уравнение:

\( (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 0 \)

\((x - 1)^{2} \ge 0\) и \((y - 2)^{2} \ge\), значит, их сумма будет равна нулю, только тогда, когда каждое слагаемое будет равно нулю, то есть:

\( (x - 1)^{2} =0\) и \( (y - 2)^{2} = 0 \).

Следовательно, уравнение имеет единственное решение: \[ x = 1, \quad y = 2. \]