Упражнение 1106 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(-0{,}8x+12=0\)

\(-0{,}8x=-12\)

\(x=\dfrac{-12}{-0{,}8}\)

\(x=15\).

Ответ: \(x=15.\)

б) \( (3x-10)(x+6)=0\)

\(3x-10=0\) или \(x+6=0\)

\(3x=10\)               \(x=-6\)

\(x=\frac{10}{3}\)

\(x=3\frac{1}{3}\).

Ответ: \(x=3\frac{1}{3}; x=-6\).

в) \(\dfrac{4+2x}{x^{2}+5}=0\)

Так как \(x^{2}+5>0\) при любых \(x\), то

\(4+2x=0\)

\(2x=-4\)

\(x=-2\).  

Ответ: \(x=-2\).  

г) \(\dfrac{6}{(x-1)(x+8)}=0\)

Корней нет, т.к. числитель дроби не равен нулю, следовательно, нулей нет.

Ответ: нулей нет. 

Пояснения:

Нуль функции — это значение \(x\), при котором \(y=0\).

Для линейной функции \(y=kx+b\) решаем уравнение \(kx+b=0\). Для произведения \(y=A(x)\,B(x)\) нули находятся из равенств \(A(x)=0\) или \(B(x)=0\).

Для дробно-рациональной функции \(y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) (где \(Q(x)\ne0\)) нули совпадают с корнями числителя \(P(x)=0\). Если числитель — ненулевое число (как в пункте г), нулей нет; дополнительно нужно учитывать область определения \(Q(x)\ne0\).

а) \( \dfrac{x^{4} + a^{2}x^{2} + a^{4}}{x^{3} + a^{3}} =\)

\( =\dfrac{(x^{4} + 2a^{2}x^{2} + a^{4})-a^{2}x^{2}}{x^{3} + a^{3}} =\)

\( =\dfrac{(x^{2} + a^{2})^2-(ax)^{2}}{x^{3} + a^{3}} =\)

\(=\dfrac{\cancel{(x^{2} + a^{2} - a x)}(x^{2} + a^{2} + a x)}{(x + a)\cancel{(x^{2} - a x + a^{2}})} =\)

\(=\dfrac{x^{2} + a x + a^{2}}{x + a}. \)

б) \( \dfrac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^{n}} =\)

\(=\dfrac{a^{n-1}(8a^{3} + 1)}{a^{n}(16a^{4} + 4a^{2} + 1)} =\)

\(=\dfrac{\cancel{a^{n}}\,a^{-1} (2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1)}{\cancel{a^{n}}((16a^{4} + 8a^{2} + 1) - 8a^2 + 4a^2)} =\)

\(=\dfrac{a^{-1}(2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1)}{(4a^{2} + 1)^2 - 4a^2} =\)

\(=\dfrac{(2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1)}{a((4a^{2} + 1)^2 - (2a)^2)} =\)

\(=\dfrac{(2a + 1)\cancel{(4a^{2} - 2a + 1)}}{a\cancel{(4a^{2} + 1 - 2a)}(4a^{2} + 1 + 2a)} =\)

\( = \dfrac{2a + 1}{a(4a^{2} + 2a + 1)}. \)

Пояснения:

Пункт а)

Для сокращения дроби нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель \(x^{3} + a^{3}\) раскладывается по формуле суммы кубов: \[ x^{3} + a^{3} = (x + a)(x^{2} - a x + a^{2}). \]

В числителе дроби добавляем и вычитаем одно и то же выражение \(2a^{2}x^{2}\), чтобы получить сначала квадрат суммы двух выражений

\((x^{2} + a^{2})^2\), а затем разность квадратов двух выражений

\((x^{2} + a^{2})^2-(ax)^{2}\).

Далее сокращаем одинаковый множитель числителя и знаменателя \(x^{2} - a x + a^{2}\) получаем \[ \dfrac{x^{2} + a x + a^{2}}{x + a}. \]

Пункт б)

Сначала вынесем общий множитель из числителя и знаменателя:

\( 8a^{n+2} + a^{n-1} = a^{n-1}(8a^{3} + 1), \)

\( 16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^{n} =\)

\(a^{n}(16a^{4} + 4a^{2} + 1). \)

Сокращаем общий множитель числителя и знаменателя \(a^n\).

Затем в числителе дроби применяем формулу суммы кубов двух выражений:

\[ 8a^{3} + 1 = (2a + 1)(4a^{2} - 2a + 1). \]

В знаменателе дроби добавляем и вычитаем одно и то же выражение \(8a^{2}\), чтобы получить сначала квадрат суммы двух выражений \((4a^{2} + 1)^2 \), а затем разность квадратов двух выражений \((4a^{2} + 1)^2 - 4a^2\).

Далее сокращаем общий множитель числителя и знаменателя

\(4a^{2} + 1 - 2a\) и получаем: \[ \dfrac{2a + 1}{a(4a^{2} + 2a + 1)}. \]