Упражнение 930 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(20\) мин = \(\frac{20}{60} ч = \frac13\) ч

Составим уравнение:

\(\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x+5} = \dfrac{1}{3}\) \(/\times 3x(x+5)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)  и  \(x + 5 \neq 0\)

                          \(x \neq -5\)

\(360(x + 5) -360x = x(x + 5)\)

\(\cancel{360x} + 1800 - \cancel{360x} = x^2 +5x\)

\(x^2 + 5x - 1800 = 0\).

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -1800\)

\(D =b^2 - 4ac=\)

\(=5^2 - 4 \cdot1 \cdot (-1800) =\)

\(=25 + 7200 = 7225\),     \(\sqrt{D} = 85\).

\(x_1 = \dfrac{-5 + 85}{2\cdot1} = \dfrac{80}{2} = 40\).

\(x_2 = \dfrac{-5 - 85}{2\cdot1} = \dfrac{-90}{2} = -45\) - не удовлетворяет условию.

1) \(40\) (км/ч) - скорость первого поезда.

2) \(40 + 5 = 45\) (км/ч) - скорость второго поезда.

Ответ: \(40\) км/ч и \(45\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Путь поезда проезжают одинаковый 120 км. Скорость первого поезда обозначили \(x\) км/ч, а скорость второго поезда \(x+5\) км/ч, тогда время в пути первого поезда \(\frac{120}{x}\) ч, а время в пути второго поезда \(\frac{120}{x+5}\). На обратный путь пассажир на втором поезде затратил на 20 мин меньше. Учитывая то, что \(20\) мин = \(\frac13\) ч, составили дробное рациональное уравнение:

\(\dfrac{120}{x} - \dfrac{120}{x+5} = \dfrac{1}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D\) больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Получили два значения \(40\) и \(-45\). Но отрицательное значение не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом. Следовательно, скорость первого поезда равна \(40\) км/ч. Скорость второго поезда на \(5\) км/ч больше, чем первого, значит, скорость второго поезда равна \(45\) км/ч.

а) \(a + 2b\), если

1) \(0 < a < 1\)

2) \(-3 < b < -2\)  \(/\times2\)

\(-6 < 2b < -4\)

3) \(0 + (-6) < a+2b < 1 + (-4)\)

\(-6 < a+2b < -3\)

б) \(\dfrac{1}{2}a - b\)

1) \(7 < a < 10\)   \(/\times \frac12\)

\(\frac12\cdot7 < \frac12a < \frac12\cdot10\)

\(3,5 < \frac12a < 5\)

2) \(14 < b < 15\)  \(/\times (-1)\)

\(-14 > -b > -15\)

\(-15 < -b < -14\)

3) \(3,5 - 15 < \frac12a - b < 5 -14\)

\(-11,5 < \frac12a - b <-9\)

Пояснения:

Чтобы оценить выражения использовали свойства неравенств:

- если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство;

- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.