Упражнение 927 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((-3; +\infty)\) и \((4; +\infty)\)

\((-3; +\infty) \cap (4; +\infty)=(4; +\infty)\).

\((-3; +\infty) \cup (4; +\infty)=(-3; +\infty)\).

б) \((-\infty; 2)\) и \([0; +\infty)\)

\((-\infty; 2) \cap [0; +\infty)=[0; 2)\).

\((-\infty; 2) \cup [0; +\infty)=(-\infty; +\infty)\).

в) \((-\infty; 6)\) и \((-\infty; 9)\)

\((-\infty; 6) \cap (-\infty; 9)=(-\infty; 6)\).

\((-\infty; 6) \cup (-\infty; 9)=(-\infty; 9)\).

г) \([1; 5]\) и \([0; 8]\)

\([1; 5] \cap [0; 8]=[1; 5]\).

\([1; 5] \cup [0; 8] = [0; 8]\).

Пояснения:

Пересечение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат и первому, и второму промежутку одновременно.

Объединение двух промежутков — это множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них.

а) \(ac+\dfrac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab}\)

\( \frac{ac+\frac{b}{c}}{2}\ge\sqrt{ac\cdot\frac{b}{c}}\)

\( \frac{ac+\frac{b}{c}}{2}\ge\sqrt{ab} \)     \(/\times2\)

\(ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab}. \)

Что и требовалось доказать.

б) \(\left(1+\dfrac{a^{2}}{bc}\right)\!\left(1+\dfrac{b^{2}}{ac}\right)\!\left(1+\dfrac{c^{2}}{ab}\right)\ge 8.\)

1) \(\frac{1+\dfrac{a^{2}}{bc}}{2} \ge \sqrt{1\cdot \frac{a^2}{bc}}\)      \(/\times2\)

\(1+\dfrac{a^{2}}{bc}  \ge 2\sqrt{ \frac{a^2}{bc}}\)

2) \(\frac{1+\dfrac{b^{2}}{ac}}{2} \ge \sqrt{1\cdot \frac{b^2}{ac}}\)      \(/\times2\)

\(1+\dfrac{b^{2}}{ac}  \ge 2\sqrt{ \frac{b^2}{ac}}\)

3) \(\frac{1+\dfrac{c^{2}}{ab}}{2} \ge \sqrt{1\cdot \frac{c^2}{ab}}\)      \(/\times2\)

\(1+\dfrac{c^{2}}{ab}  \ge 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}\)

4) Перемножаем неравенства:

\(\left(1+\dfrac{a^{2}}{bc}\right)\!\left(1+\dfrac{b^{2}}{ac}\right)\!\left(1+\dfrac{c^{2}}{ab}\right)\ge2\sqrt{ \frac{a^2}{bc}}\cdot 2\sqrt{ \frac{b^2}{ac}} \cdot 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}\)

\(\left(1+\dfrac{a^{2}}{bc}\right)\!\left(1+\dfrac{b^{2}}{ac}\right)\!\left(1+\dfrac{c^{2}}{ab}\right)\ge8\sqrt{ \frac{a^2b^2c^2}{bc\cdot ac \cdot ab}}\)

\(\left(1+\dfrac{a^{2}}{bc}\right)\!\left(1+\dfrac{b^{2}}{ac}\right)\!\left(1+\dfrac{c^{2}}{ab}\right)\ge8\sqrt{ \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}}\)

\(\left(1+\dfrac{a^{2}}{bc}\right)\!\left(1+\dfrac{b^{2}}{ac}\right)\!\left(1+\dfrac{c^{2}}{ab}\right)\ge8\sqrt{1}\)

\(\left(1+\dfrac{a^{2}}{bc}\right)\!\left(1+\dfrac{b^{2}}{ac}\right)\!\left(1+\dfrac{c^{2}}{ab}\right)\ge8\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве используем соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел: среднее арифметическое любых двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, делённой на 2.

Среднее геометрическое двух чисел равно корню квадратному из произведения этих чисел.

Также при доказательстве используем то, что:

- если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство;

- если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Свойство арифметического корня:

\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\).