Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№928 учебника 2023-2025 (стр. 207):
Упростите выражение:
а) \(\dfrac{1 + \dfrac{a - x}{x}}{ax}\);
б) \(\dfrac{\dfrac{a^2 - b^2}{a^2} - 1}{2a^2b^2}\).
№928 учебника 2013-2022 (стр. 208):
Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если \(a\) — наибольшее число в пропорции \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), где \(a,b,c,d\) - положительные числа, то верно неравенство \[ a+d>b+c. \]
№928 учебника 2023-2025 (стр. 207):
Вспомните:
№928 учебника 2013-2022 (стр. 208):
Вспомните:
№928 учебника 2023-2025 (стр. 207):
а) \(\dfrac{1 ^{\color{blue}{\backslash x}} + \dfrac{a - x}{x}}{ax} =\)
\(=\dfrac{\dfrac{\cancel x+a - \cancel x}{x}}{ax} = \dfrac{\dfrac{a}{x}}{ax} =\)
\(=\dfrac{a}{x} : ax=\dfrac{\cancel a}{x} \cdot \dfrac{1}{\cancel ax}= \dfrac{1}{x^2}\).
б) \(\dfrac{\dfrac{a^2 - b^2}{a^2} - 1 ^{\color{blue}{\backslash a^2}}}{2a^2b^2} =\)
\(=\dfrac{\dfrac{\cancel{a^2} - b^2 - \cancel{a^2}}{a^2}}{2a^2b^2} = \dfrac{\dfrac{-b^2}{a^2}}{2a^2b^2} =\)
\(=-\dfrac{b^2}{a^2} : 2a^2b^2=-\dfrac{\cancel{b^2}}{a^2} \cdot \dfrac{1}{2a^2\cancel{b^2}}= \)
\(=-\dfrac{1}{2a^4}\).
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Учитываем то, что черту дроби можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.
3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:
\(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}= \frac{a\cdot d}{b\cdot c}.\)
4) Сокращение дробей:
\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).
№928 учебника 2013-2022 (стр. 208):
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\),
\(a >0, b>0, c>0, d>0\)
\(a > b, a > c, a > d\)
Доказать:
\[ a+d>b+c. \]
Доказательство:
Пусть \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) и ( \(k>1\) ), так как \(a > b\), тогда
\( a=kb,\qquad c=kd. \)
\(a+d>b+c \)
\(a+d-b-c >0 \)
\(kb+d-b-kd >0 \)
\((kb-b)-(kd - d) >0 \)
\(b(k-1)-d(k - 1) >0 \)
\((k-1)(b-d) > 0\)
1) \(k - 1 > 0\), так как \(k > 1\).
2) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} = k > 1\) и \(a\) - наибольшее число, поэтому \(b > d\), значит,
\(b - d > 0\), тогда неравенство
\((k-1)(b-d) > 0\) - верно и
\( a+d>b+c. \) Что и требовалось доказать.
Пояснения:
При доказательстве неравенства
\(a+d>b+c \), находим разность левой и правой частей неравенства и учитываем то, что, если \(a - b > 0\), то \(a > b\).
Также вводим коэффициент
\(k = \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), причем \(k > 1\), так как \(a > b\) по условию. Тогда получаем \( a=kb,\; c=kd \) и из неравенства
\(a+d>b+c \) получаем неравенство \((k-1)(b-d) > 0\), которое является верным неравенством, так как
\(k - 1 > 0\), учитывая то, что \(k > 1\), и
\(b - d > 0\), учитывая то, что
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} = k > 1\), при этом \(a\) - наибольшее число, поэтому \(b > d\). Следовательно, \( a+d>b+c. \) Что и требовалось доказать.
Вернуться к содержанию учебника