Упражнение 856 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть расстояние от посёлка до станции равно \(x\) км.

1) \(\frac{0,5x}{5,5} + \frac{0,5x}{4,5}= \frac{5x}{55} + \frac{5x}{45}=\)

\(=\frac{x}{11} ^{\color{blue}{\backslash9}} + \frac{x}{9} ^{\color{blue}{\backslash11}} =\frac{9x+11x}{99}=\)

\(=\frac{20x}{99}\) (ч) - Миша был в пути.

2) \(\frac{x}{5}^{\color{blue}{\backslash99}} - \frac{20x}{99}^{\color{blue}{\backslash5}} =\frac{99x-100x}{495}=\)

\(=\frac{-x}{495} < 0\) при любом положительном \(x\),

поэтому \(\frac{x}{5} < \frac{20x}{99}\).

Ответ: первым на станцию пришел Коля.

Пояснения:

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Обозначили расстояние от посёлка до станции за \(x\) км, тогда, двигаясь со скоростью \(5\) км/ч, Миша пройдет это расстояние за \(\frac{x}{5}\) ч.

Миша первую половину пути, то есть \(0,5x\) км шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, то есть со скоростью \(5 + 0,5 = 5,5\) км/ч, а вторую половину пути, то есть \(0,5x\) км/ч — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля, то есть скоростью \(5 - 0,5 = 4,5\) км/ч. Значит, на весь путь от поселка до станции Миша затратит:

\(\frac{0,5x}{5,5} + \frac{0,5x}{4,5}= \frac{20x}{99}\) (ч).

Нам известно, что:

если \(a - b < 0\), то \(a < b\);

если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

Из времени, которое был в пути Коля, вычтем время, которое был в пути Коля:

\(\frac{x}{5} - \frac{20x}{99} =\frac{-x}{495}\).

Учитывая то, что значение расстояния \(x\) всегда положительно, выражение \(\frac{-x}{495} < 0\) при любом положительном \(x\). Значит, время, которое был в пути Коля, меньше, чем время, которое был в пути Миша. Следовательно, первым на станцию пришел Коля.

а) \(\dfrac{2a-1}{4} + \dfrac{a-1}{3} > 0\)   \(/\times 12\)

\(3(2a - 1) +4(a-1) > 0\)

\(6a - 3 + 4a - 4 > 0\)

\(10a - 7 > 0\)

\(10a > 7\)   \(/ : 10\)

\(a > \dfrac{7}{10}\)

\(a > 0,7\)

Ответ: при \(a \in(0,7; +\infty)\).

б) \(\dfrac{3b-1}{2} - \dfrac{1+5b}{4} < 0\)   \(/\times 4\)

\(2(3b - 1) - (1 + 5b) < 0\)

\(6b - 2 - 1 - 5b < 0\)

\(b - 3 < 0\)

\(b < 3\)

Ответ: \((-\infty; 3)\).

Пояснения:

По условию составляем неравенства. Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.