Упражнение 855 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(0; \; 1; \; 2; \; 3.\)

\( k, \; k+1, \; k+2, \; k+3\)

\(k(k+3) - (k+1)(k+2) =\)

\(=k^2 + 3k -(k^2 +2k + k + 2)=\)

\(=k^2 + 3k -(k^2 +3k + 2)=\)

\(=k^2 + 3k -k^2 -3k - 2=\)

\(=-2 < 0\) - верно при любом \(k\), поэтому

\(k(k+3) <(k+1)(k+2)\)

Ответ: произведение крайних членов меньше произведения средних членов.

Пояснения:

При сравнении произведений учли то, что:

если \(a - b < 0\), то \(a < b\);

если \(a - b > 0\), то \(a > b\).

а) \(\dfrac{2a-1}{2} - \dfrac{3a-3}{5} > a\)    \(/\times 10\)

\(5(2a-1) - 2(3a-3) > 10a\)

\(10a - 5 - 6a + 6 > 10a\)

\(4a+1 > 10a\)

\(4a - 10a > -1\)

\(-6a > -1\)   \(/ :(-6)\)

\(a < \dfrac{1}{6}\)

Ответ: \((-\infty; \dfrac{1}{6})\).

б) \(x - \dfrac{2x+3}{2} \leqslant \dfrac{x-1}{4}\)   \(/\times 4\)

\(4x - 2(2x+3) \leqslant x - 1\)

\(\cancel{4x} - \cancel{4x} - 6 \leqslant x - 1\)

\(-6\leqslant x-1\)

\(-x\leqslant 6 - 1\)

\(-x \leqslant 5\)     \(/ : (-1)\)

\(x \geqslant -5\)

Ответ: \([-5; +\infty)\).

в) \(\dfrac{5x-1}{5} + \dfrac{x+1}{2} \leqslant x\)  \(/\times 10\)

\(2(5x - 1) + 5(x + 1) \leqslant 10x\)

\(10x -2 + 5x +5\leqslant 10x\)

\(15x + 3 \leqslant 10x\)

\(15x - 10x \leqslant -3\)

\(5x \leqslant -3\)    \(/ : 5\)

\(x \leqslant -\frac35\)

\(x \leqslant -0,6\)

Ответ: \((-\infty; -0,6]\).

г) \(\dfrac{y-1}{2} - \dfrac{2y+3}{8} - y > 2\)  \(/\times 8\)

\(4(y-1) -(2y+3) - 8y > 16\)

\(4y - 4 - 2y - 3 - 8y >16\)

\(-6y - 7 > 16\)

\(-6y > 16 + 7\)

\(-6y > 23\)   \(/ : (-6)\)

\(y < -\frac{23}{6}\)

\(y < -3\frac{5}{6}\)

Ответ: \((-\infty; -3\dfrac{5}{6})\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.