Упражнение 852 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Если \(a >0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\).

\(a^2 - b^2 > 0\)

\((a-b)(a+b) > 0\)

\(a+b > 0\), так как \(a >0\), \(b > 0\), значит, \(a-b>0\), поэтому \(a>b\).

а) \(\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}\)

1) \( (\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 =\)

\(=(\sqrt6)^2 +2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=\)

\(=6 + 2\sqrt{18} + 3=\)

\(=9 + 2\sqrt{18}, \)

2) \((\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = \)

\(=(\sqrt7)^2 +2\cdot\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=\)

\(=7 +  2\sqrt{14} + 2 =\)

\(=9 + 2\sqrt{14} .\)

3) \(\sqrt{18} > \sqrt{14}\)

\(9 + 2\sqrt{18} > 9 + 2\sqrt{14}\)

б) \(\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1\)

1) \( (\sqrt{3} + 2)^2 =\)

\(=(\sqrt3)^2 + 2\cdot\sqrt3\cdot2 + 2^2=\)

\(=3 +4\sqrt3 + 4=\)

\(=7 + 4\sqrt{3} =7 + \sqrt{16\cdot3}= \)

\(=7 + \sqrt{48}, \)

2) \( (\sqrt{6} + 1)^2 =\)

\(=(\sqrt6)^2 +2\sqrt6\cdot1 + 1^2 =\)

\(=6 + 2\sqrt6 + 1=\)

\(= 7 + 2\sqrt{6}=7 + \sqrt{4\cdot6}=\)

\(=7 + \sqrt24\).

3) \(\sqrt{48} > \sqrt{24}\)

\(7 + \sqrt{48} > 7 + \sqrt24\)

в) \(\sqrt{5} - 2 < \sqrt{6} - \sqrt{3}\)

1) \((\sqrt{5} - 2)^2 =\)

\(=(\sqrt5)^2 -2\cdot\sqrt5\cdot2 + 2^2 =\)

\(=5 -4\sqrt5 + 4 =9 - 4\sqrt5 =\)

\(=9 - \sqrt{16\cdot5} = 9 - \sqrt{80},\)

2) \((\sqrt{6} - \sqrt{3})^2=\)

\(=(\sqrt6)^2 -2\cdot\sqrt6\cdot\sqrt3 + (\sqrt3)^2=\)

\(=6-2\sqrt{18} + 3 =9-2\sqrt{18}=\)

\(=9-\sqrt{4\cdot18} = 9 - \sqrt{72}\)

3) \(\sqrt{80} > \sqrt{72}\)

\(9 - \sqrt{80} < 9 - \sqrt{72}\)

г) \(\sqrt{10} - \sqrt{7} < \sqrt{11} - \sqrt{6}\)

1) \((\sqrt{10} - \sqrt{7})^2=\)

\(=(\sqrt{10})^2 - 2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{7} + (\sqrt7)^2 =\)

\( = 10 - 2\sqrt70 + 7=\)

\(=17 - 2\sqrt{70},\)

2) \((\sqrt{11} - \sqrt{6})^2 =\)

\(=(\sqrt{11})^2 - 2\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{6} + (\sqrt6)^2 =\)

\( = 11 - 2\sqrt{66} + 6=\)

\(=17 - 2\sqrt{66},\)

3) \(\sqrt{70} > \sqrt{66}\)

\(17 - 2\sqrt{70} < 17 - 2\sqrt{66}\)

Пояснения:

Если \(a >0\), \(b > 0\) и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\). Чтобы доказать это утверждение используем, то что

\(a^2 - b^2 > 0\), откуда согласно формуле разности квадратов можем записать:

\((a-b)(a+b) > 0\).

Сумма двух положительных чисел всегда положительна, то есть

\(a+b > 0\). Если один из множителей положителен, чтобы произведение было положительно, второй множитель тоже должен быть положителен. Значит, \(a-b>0\), поэтому \(a>b\). Что и требовалось доказать.

Чтобы выполнить сравнение данных чисел, используем свойство, которое доказали выше. При этом используем следующие приемы:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}\);

\(a\sqrt b = \sqrt{a^2b}\).

а) \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} <5\)   \(/\times 6\)

\(3x + 2x < 30\)

\(5x < 30 \)    \(/ : 5\)

\( x < 6\).

Ответ: \((-\infty; 6)\).

б) \(\dfrac{3y}{2} - \dfrac{y}{3}\geq 2\)   \(/\times 6\)

\(9y - 2y \geq 12 \)

\(7y \geq 12 \)   \(/ : 7\)

\(y \geq \dfrac{12}{7}\)

\(y \geq 1\dfrac{5}{7}\)

Ответ: \([1\dfrac{5}{7}; +\infty)\).

в) \(\dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{2} > -3\)   \(/\times 4\)

\(x-2x >-12\)

\( -x > -12 \)   \(/\times (-1)\)

\(x < 12\).

Ответ: \((-\infty; 12)\).

г) \(y + \dfrac{y}{2} >3\)

\(2y + y > 6\)

\( 3y > 6 \)   \(/ : 3\)

\(y > 2\).

Ответ: \((2; +\infty)\).

д) \(\dfrac{2x}{5} - x \leq 1 \)   \(/\times 5\)

\(2x-5x \leq 5 \)

\( -3x \leq 5 \)    \( / : (-3)\)

\(x \geq -\dfrac{5}{3}\)

\(x \geq -1\dfrac{2}{3}\)

Ответ: \([-1\dfrac{2}{3}; +\infty)\).

е) \(\dfrac{3x}{4} - 2x < 0\)   \(/\times 4\)

\(3x - 8x < 0\)

\( -5x < 0 \)   \( / :(-5)\)

\(x > 0\).

Ответ: \((0; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, или на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.