Упражнение 779 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[3x^2 + 2x + k = 0,\]

\( 2x_1 = -3x_2\)

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}, \quad x_1x_2 = \frac{k}{3}\)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x_1 = -3x_2 \\ x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = -\frac{3}{2}x_2 \\ x_2 -\frac{3}{2}x_2= -\frac{2}{3} \end{cases} \)

\(x_2 -\frac{3}{2}x_2= -\frac{2}{3} \)   \(/\times6\)

\(6x_2-9x_2 = - 4\)

\(-3x_2 = -4\)

\(x_2 = \frac{-4}{-3}\)

\(x_2 = \frac{4}{3}\)

\(x_1 = -\frac{\cancel3}{\cancel2}\cdot \frac{\cancel4 ^2}{\cancel3} =-2\)

\(x_1x_2 = \frac{k}{3}\)   \(/\times6\)

\(3x_1x_2 = k\)

\(3\cdot(-2)\cdot\frac43=k\)

\(k = -^2\cancel6\cdot\frac{4}{\cancel3}\)

\(k = -8\)

Ответ: \(k = -8.\)

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}. \]

Учитывая то, что \(2x_1 = -3x_2\) составили систему уравнений:

\( \begin{cases} 2x_1 = -3x_2 \\ x_1 + x_2 = -\frac{2}{3} \end{cases} \).

Решили систему способом подстановки и нашли \(x_1\) и \(x_2\).

После этого использовали произведение корней для нахождения \(k\).

Пусть сторона квадрата равна \(x\) дм. После отрезания полосы шириной 5 дм получается прямоугольник со сторонами \(x\) и \(x - 5\). По условию его площадь равна 6 дм².

Составим уравнение:

\(x(x - 5) = 6\)

\(x^2 - 5x - 6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = \)

\(=25 + 24 = 49\),   \(\sqrt D = 7\).

\(x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2\cdot1}=\frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: сторона квадрата равна \(6\) дм.

Пояснения:

Пусть сторона квадрата \(x\). После отрезания полосы шириной 5 дм остаётся прямоугольник. Его стороны: \(x\) и \(x - 5\). Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, значит, площадь полученного прямоугольника равна \(x(x-5)\). По условию площадь оставшейся части листа равна 6 дм², значит, можем составить следующее уравнение:

\(x(x-5) = 6\).

Выполнив преобразования, получили полное квадратное уравнение с дискриминантом \(D = b^2-4ac>0\), значит, уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

Получили два корня: \(6\) и \(-1\), но отрицательный корень не подходит, так как длина не может быть отрицательным числом. Следовательно, первоначально лист жести имел форму квадрата со стороной \(6\) дм.