Упражнение 778 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[x^2 + px + 405 = 0\]

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \( x_2\).

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = 405. \]

\(( x_1 - x_2)^2 =144\)

\(x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 = 144\)

\(x_1^2 - 2\cdot405 + x_2^2 = 144\)

\(x_1^2 - 810 + x_2^2 = 144\)

\(x_1^2 + x_2^2 = 144 + 810\)

\(x_1^2 + x_2^2 = 954\)

\( x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2 = 954\)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 954\)

\((-p)^2 - 2\cdot405 = 954\)

\(p^2 - 810 = 954\)

\(p^2 = 954 + 810\)

\(p^2 = 1764\)

\(p=\pm\sqrt{1764}\)

\(p = \pm42\)

Ответ: \(p = 42\) или \(p = -42.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

- квадрат суммы и квадрат разности двух выражений:

\((x_1 + x_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2\);

\((x_1 - x_2) = x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2\).

- значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, поэтому:

\( x_1^2 + x_2^2 =\)

\(=x_1^2 + 2x_1x_2+ x_2^2 - 2x_1x_2=\)

\(=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

- теорема Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 x_2 = q. \]

1) \(BO\) - медиана \(\Delta ABC\).

\(OD = BO\)

2) Четырёхугольник \(ABCD\) - параллелограмм, так как \(O\) — середина \(AC\), а отрезки \(BO\) и \(OD\) равны.

3) 1) В треугольнике \(\Delta ABD\) по неравенству треугольника:

\(BD < AD + AB.\)

\(AD = BC\) (противоположные стороны параллелограмма) и

\(BD = 2BO = 2m_b\), тогда:

\(2m_b < BC + AB\).

2) В треугольнике \(\Delta ABO\) по неравенству треугольника:

\(AB < AO + BO\).

В треугольнике \(\Delta BOC\) по неравенству треугольника:

\(BC < OC + BO\).

\(AB + BC < (AO + BO) + (OC + BO)\)

\(AB + BC < (AO + OC) + (BO + BO)\)

\(AB + BC < AC + 2BO\)

\(AB + BC < AC + 2BO\)

\(АВ + ВС < AC + 2m_b\)

\(AB + BC - AC <  2m_b\)

4) \(2m_b < BC + AB\) и

\(AB + BC - AC <  2m_b\);

\(2m_c < AC + BC\) и

\(AC + BC - AB <  2m_с\);

\(2m_a < AB + AC\) и

\(AC +  AB - BC <  2m_a\).

5) Верхняя граница:

\(2m_a + 2m_b + 2m_c < (AB + AC) + (BC + AB) + ( AC + BC)\)

\(2m_a + 2m_b + 2m_c < 2AB + 2AC + 2BC\)

\(2(m_a + m_b + m_c) < 2(AB + AC + BC)\)  \( /: 2\)

\(m_a + m_b + m_c < AB + AC + BC\)

\(m_a + m_b + m_c < P\)

\(P =AB + AC + BC\) - периметр \(\Delta ABC\).

Нижняя граница:

\((AC + AB -BC)+(AB + BC - AC) + (AC + BC - AB) <  2m_a + 2m_b + 2m_c\)

\(\cancel{AC} + \cancel{AB} - \cancel{BC}+AB + BC - \cancel{AC} + AC + \cancel{BC} - \cancel{AB} <  2m_a + 2m_b + 2m_c\)

\(AB + BC + AC < 2(m_a + m_b + m_c)\) \( /: 2\)

\(\frac12(AB + BC + AC) < m_a + m_b + m_c\)

\(\frac12P < m_a + m_b + m_c\)

Ответ:

\(\frac12P < m_a + m_b + m_c < P\).

Пояснения:

Медиана треугольника - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Учли то, что четырехугольник, у которого диагонали точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Использовали свойство параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны.

Неравенство треугольника: сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Свойства неравенств:

- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство;

- если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется;

- если к частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.

При оценке суммы медиан треугольника получили, что сумма медиан треугольника меньше периметра этого треугольника, но больше полупериметра этого треугольника.