Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№781 учебника 2023-2025 (стр. 178):
Зная, что уравнение \[x^2 + px + q = 0\] имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), составьте квадратное уравнение, имеющее корни:
а) \(3x_1\) и \(3x_2\);
б) \(x_1+2\) и \(x_2+2\).
№781 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Докажите, что:
а) \(9a + \dfrac{1}{a} \geq 6\), при \(a > 0\);
б) \(25b + \dfrac{1}{b} \leq -10\), при \(b < 0\).
№781 учебника 2023-2025 (стр. 178):
№781 учебника 2013-2022 (стр. 174):
Вспомните:
№781 учебника 2023-2025 (стр. 178):
\(x^2 + px + q = 0\)
\(x_1\) и \(x_2\) - корни уравнения.
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -p\),
\(x_1 \cdot x_2 = q\).
а) Новые корни: \(3x_1, 3x_2\).
1) \( 3x_1 + 3x_2 = 3(x_1+x_2) = \)
\(=3\cdot(-p) = -3p. \)
2) \( (3x_1)\cdot(3x_2) = 9x_1x_2 = 9q. \)
Новое уравнение:
\[ x^2 + 3px + 9q = 0. \]
б) Новые корни: \(x_1+2, x_2+2\).
1) \( (x_1+2) + (x_2+2) =\)
\(=(x_1+x_2) + 4 = -p + 4 = p-4. \)
2) \((x_1+2)(x_2+2) =\)
\(=x_1x_2 + 2x_1+2x_2 + 4 =\)
\(=x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4 =\)
\(=q + 2\cdot(-p) + 4= \)
\( = q - 2p + 4. \)
Новое уравнение:
\( x^2 + (p-4)x + (q - 2p + 4) = 0. \)
Ответ: а) \(x^2 + 3px + 9q = 0\).
б) \(x^2 + (p-4)x + (q - 2p + 4) = 0\).
Пояснения:
Чтобы составить новое уравнение, нужно найти сумму и произведение новых корней. Для этого используем теорему Виета:
\[ x_1+x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]
В пункте а) умножаем оба корня на 3, в пункте б) увеличиваем оба корня на 2. Затем подставляем в стандартную форму:
\[ x^2 - Sx + P = 0, \]
где \(S\) — сумма новых корней, \(P\) — их произведение.
№781 учебника 2013-2022 (стр. 174):
а) \(9a + \dfrac{1}{a} \geq 6\), при \(a>0\).
\( 9a ^{\color{blue}{\backslash a}} + \frac{1}{a} - 6 ^{\color{blue}{\backslash a}} \geq 0. \)
\( \frac{9a^2 + 1 - 6a}{a} \geq 0\)
\( \frac{9a^2 - 6a + 1}{a} \geq 0\)
\( \frac{(3a - 1)^2}{a} \geq 0\) - верно, так как \(a > 0\) и \((3a - 1)^2 \geq0\) при любом \(a\).
Что и требовалось доказать.
б) \(25b + \dfrac{1}{b} \leq -10\), при \(b < 0\).
\( 25b ^{\color{blue}{\backslash b}} + \frac{1}{b} + 10 ^{\color{blue}{\backslash b}} \leq 0\)
\( \frac{25b^2 + 1 + 10b}{b} \leq 0\)
\( \frac{25b^2 + 10b + 1}{b} \leq 0\)
\( \frac{(5b +1)^2}{b} \leq 0\) - верно, так как \(b < 0\) и \((5b +1)^2 \geq0\) при любом \(b\).
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
В каждом пункте мы свели задачу к исследованию квадратного трёхчлена.
С помощью выделения полного квадрата (\((3a-1)^2\) и \((5b+1)^2\)) показали, что числители всегда неотрицательны.
С учётом знака знаменателя получаем требуемые неравенства.
Использованные приемы и формулы:
- Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2\).
- Квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
- Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
Вернуться к содержанию учебника