Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№667 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Докажите, что:
а) \(\displaystyle \frac{1}{11+2\sqrt{30}}+\frac{1}{11-2\sqrt{30}}=22\);
б) \(\displaystyle \frac{\sqrt5+2}{\sqrt5-2}+\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2}=18\).
№667 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика \(0{,}5\) м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на \(1{,}08 \, \text{м}^2\) меньше площади боковых стенок.
№667 учебника 2023-2025 (стр. 154):
Вспомните:
№667 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Вспомните:
№667 учебника 2023-2025 (стр. 154):
а) \( \frac{1}{11+2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash11-2\sqrt{30}}} +\frac{1}{11-2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash11+2\sqrt{30}}} =22\)
\(\frac{(11-2\sqrt{30})+(11+2\sqrt{30})}{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})} =22\)
\(\frac{11-\cancel{2\sqrt{30}}+11+2\sqrt{30}}{(11+\cancel{2\sqrt{30}})(11^{2}-(2\sqrt{30})^{2}} =22\)
\(\frac{22}{121-4\cdot30} =22\)
\(\frac{22}{121-120}=22\)
\(\frac{22}{1}=22\)
\(22 = 22\)
Что и требовалось доказать.
б) \( \frac{\sqrt5+2}{\sqrt5-2} ^{\color{blue}{\backslash \sqrt5+2}} +\frac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2} ^{\color{blue}{\backslash \sqrt5-2}} =18\)
\(\frac{(\sqrt5+2)^2+(\sqrt5-2)^2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)} =18\)
\(\frac{(\sqrt5)^2+\cancel{4\sqrt 5}+4+(\sqrt5)^2-\cancel{4\sqrt 5}+4}{(\sqrt5)^2-2^2} =18\)
\(\frac{5+4+5+4}{5-4} =18\)
\(\frac{18}{1}=18 \)
\(18 = 18\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованные приемы и формулы:
- Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю и складываем числители.
- Разность квадратов двух выражений:
\( (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\).
- Квадрат суммы двух выражений:
\((a+ b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. \)
- Квадрат разности двух выражений:
\((a- b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. \)
- Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
- Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
№667 учебника 2013-2022 (стр. 153):
Пусть ширина ящика равна \(x\) м, тогда длина равна \(2x\) м, а высота \(h = 0{,}5\) м.
Площадь дна:
\( 2x \cdot x = 2x^2.\)
Площадь боковых стенок:
\( 2(2x \cdot h) + 2(x \cdot h)=\)
\(= 2(2x \cdot 0,5) + 2(x \cdot 0,5)=\)
\(=2x + x = 3x\).
Составим уравнение:
\(3x - 2x^2 = 1,08\)
\(2x^2 - 3x + 1,08 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1,08\)
\( D=b^2 - 4ac=\)
\(= (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1,08 =\)
\(=9 - 8,64 = 0,36\), \(\sqrt D = 0,6\).
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-3) + 0,6}{2\cdot2}= \frac{3,6}{4} = 0,9\).
\(x_2 =\frac{-(-3) - 0,6}{2\cdot2}= \frac{2,4}{4} = 0,6\).
1) Если ширина ящика \(0,9\) м, то
\(2\cdot0,9 = 1,8\) - длина ящика.
\(1,8 \cdot 0,9 \cdot 0,5 = 0,81\) (м3) - объем ящика.
2) Если ширина ящика \(0,6\) м, то
\(2\cdot0,6 = 1,2\) - длина ящика.
\(1,2 \cdot 0,6 \cdot 0,5 = 0,36\) (м3) - объем ящика.
Ответ: объём ящика может быть \(0,81\) м3 или \(0,36\) м3.
Пояснения:
Мы обозначили ширину за \(x\). Тогда длина равна \(2x\), так как по условию ширина в 2 раза меньше длины.
Площадь дна равна произведению длины на ширину: \[S_{\text{дно}} = 2x \cdot x = 2x^2.\]
Площадь боковых стенок складывается из двух больших (\(2x \cdot h\)) и двух малых (\(x \cdot h\)) прямоугольников. Подставив \(h = 0,5\), получили: \[S_{\text{бок}} = 3x.\]
По условию разность площадей
\(S_{\text{бок}} - S_{\text{дно}} = 1,08\). Это привело к квадратному уравнению, которое дало два решения: \(x = 0,6\) и \(x = 0,9\).
При обоих значениях условие выполняется, поэтому возможны два значения объёма: \(0,36 \, \text{м}^3\) или \(0,81 \, \text{м}^3\).
Вернуться к содержанию учебника