Упражнение 654 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\dfrac{240}{x-5}=\dfrac{240}{x}+4\)   \(/\times x(x-5)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 5 \neq0\)

                          \(x \neq 5\)

\(240x =240(x-5) + 4x(x-5)\)

\(240x = 240x - 1200 + 4x^2 - 20x\)

\(\cancel{240x} - 1200 + 4x^2 - 20x - \cancel{240x} = 0\)

\(4x^2 -20x-1200 = 0\)    \(/ : 4\)

\( x^{2}-5x-300=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -300\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-300)=\)

\(=25+1200=1225\),    \(\sqrt D = 35\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-5)+35}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20\).

\( x_2 = \frac{-(-5)-35}{2\cdot1}=\frac{30}{2}=-15\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: билет лотереи «Надежда» стоил \(20\) рублей.

Пояснения:

За одну и ту же сумму 240 р. покупают \(\dfrac{240}{\text{цена}}\) билетов.

По условию билеты «Удача» дешевле на 5 р., поэтому их могло быть на 4 штуки больше, то есть можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\dfrac{240}{x-5}=\dfrac{240}{x}+4\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\( x^{2}-5x-300=0 \), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 20\) и \(x_2 = -15\).

Отрицательный корень не подходит, так как стоимость не может быть отрицательным числом.

Значит, билет лотереи «Надежда» стоил \(20\) рублей.

а) \(4x^2+7x+3=0\)

\(a = 4\),  \(b = 7\),  \(c = 3\)

\( D=b^2 - 4ac=7^2-4\cdot 4\cdot 3=\)

\(=49-48=1 \),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-7+1}{2\cdot4}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}\)

\(x_2=\frac{-7-1}{2\cdot4}=-\frac{8}{8}=-1 \)

Ответ: \(-\frac{3}{4}\);  \(-1\).

б) \(x^2+x-56=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -56\)

\( D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-56)=\)

\(=1+224=225 \),    \(\sqrt D = 15\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-1 + 15}{2\cdot1} =\frac{14}{2}=7\).

\( x_2=\frac{-1 - 15}{2\cdot1} =-\frac{16}{2}=-8\).

Ответ: \(7\);  \(-8\).

в) \(x^2-x-56=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -56\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-56)=\)

\(=1+224=225 \),    \(\sqrt D = 15\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-(-1) + 15}{2} =\frac{16}{2}=8\).

\( x_2=\frac{-(-1) - 15}{2} =\frac{-14}{2}=-7\).

Ответ: \(8\);  \(-7\).

г) \(5x^2-18x+16=0\)

\(a = 5\),  \(b = -18\),  \(c = 16\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-18)^2-4\cdot 5\cdot 16=\)

\(=324-320=4 \),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-(-18) + 2}{2\cdot5} = -\frac{20}{10} = 2\).

\( x_2=\frac{-(-18) - 2}{2\cdot5} = \frac{16}{10} = 1,6\).

Ответ: \(2\);  \(1,6\).

д) \(8x^2+x-75=0\)

\(a = 8\),  \(b = 1\),  \(c = -75\)

\( D=b^2 - 4ac=1^2-4\cdot 8\cdot (-75)=\)

\(=1+2400=2401 \),   \(\sqrt D = 49\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\frac{-1+ 49}{2\cdot8}=\frac{48}{16}=3\).

\(x_2=\frac{-1- 49}{2\cdot8}=-\frac{50}{16}=-\frac{25}{8}=\)

\(=-3\frac18\).

Ответ: \(3\),   \(-3\frac18\).

е) \(3x^2-11x-14=0\)

\(a = 3\),  \(b = -11\),  \(c = -14\)

\( D=b^2-4ac=\)

\(=(-11)^2-4\cdot 3\cdot (-14)=\)

\(=121+168=289 \),    \(\sqrt D = 17\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-(-11) + 17}{6} =\frac{28}{6}=\frac{14}{3}=\)

\(=4\frac23\).

\( x_2=\frac{-(-11) + 17}{6} =-\frac{6}{6}=-1\).

Ответ: \(4\frac23\);  \(-1\).

ж) \(3x^2+11x-34=0\)

\(a = 3\),  \(b = 11\),  \(c = -34\)

\( D=b^2 - 4=11^2-4\cdot 3\cdot (-34)=\)

\(=121+408=529 \),    \(\sqrt D = 23\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{-11+ 23}{6} = \frac{12}{6} = 2\)

\( x_2=\frac{-11- 23}{6}=-\frac{34}{6}=-\frac{17}{3}=\)

\(=-5\frac23 \).

з) \(x^2-x-1=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c = -1\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)=\)

\(=1+4=5 \),    \(\sqrt D = \sqrt5\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{1+ \sqrt{5}}{2} \).

\( x_2=\frac{1- \sqrt{5}}{2} \).

Ответ: \(\frac{1+ \sqrt{5}}{2} \);  \(\frac{1- \sqrt{5}}{2} \).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.