Упражнение 651 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1\) \(/\times x(x+10)\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)  и  \(x + 10 \neq 0\)

                          \(x \neq -10\)

\(560(x+10) -560x = x(x+10)\)

\(\cancel{560x} + 5600 - \cancel{560x} = x^2 +10x\)

\(x^2 + 10x -5600=0\)

\(a = 1\),  \(b = 10\),  \(c = -5600\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=10^{2}-4\cdot1\cdot(-5600)=\)

\(=100 + 22 400=22500\),

\(\sqrt D=150.\)

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-10+150}{2\cdot1}=\frac{140}{2}=70\).

\( x_1 = \frac{-10-150}{2\cdot1}=\frac{-160}{2}=-80\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

1) \(70\) (км/ч) - скорость второго автомобиля.

2) \(70 + 10 = 80\) (км\ч) - скорость первого автомобиля.

Ответ: \(80\) км/ч и \(70\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). Для медленного и быстрого автомобилей соответственно: \[ t_{1}=\frac{560}{x},\qquad t_{2}=\frac{560}{x+10}. \] По условию \(t_{1}-t_{2}=1\), откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 + 10x -5600=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 70\) и \(x_2 = -80\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость второго автомобиля равна \(70\) км/ч. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, значит, она равна:

\(70+10=80\) (км/ч).

а) \( x^2=a \)

Если \(a\geq 0\), то

\( x_1= \sqrt{a}\),   \( x_2= \sqrt{a}\).

Если \(a<0\), то корней нет.

б) \( x^2=a^2 \)

\(x = \pm \sqrt {a^2}\)

\( x=\pm |a| \)

\( x_1=a \),   \( x_2=-a \).

в) \( x^2+4b=0 \)

\( x^2=-4b \)

Если \(b < 0\), то

\( x_1=\sqrt{-4b}\),   \( x_2=-\sqrt{-4b}\).

Если \(b = 0\), то \(x = 0\).

Если \(b>0\), то корней нет.

г) \( x^2+9b^2=0 \)

\( x^2=-9b^2 \)

Если \(b=0\), то

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\).

Если \(b \neq 0\), то \(-9b^2 <0\) и корней нет.

Пояснения:

Каждое уравнение свели к виду \(x^2=c\), которое имеет решение только при \(c\geq 0\) и в таком случае \(x_1 = \sqrt c\) и \(x_2 = -\sqrt c\).

В пункте б) учитывали свойство корня:

\(\sqrt {a^2} = |a| = a\), при \(a\ge0\).

\(\sqrt {a^2} = |a| = -a\), при \(a<0\).

В пункте в) подкоренное выражение будет неотрицательно только при

\(b < 0\).

В пункте г) квадрат выражения отрицателен для всех \(b\neq 0\), поэтому единственное решение возникает только при \(b=0\).