Упражнение 649 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1\) \(/\times x(x+20)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 20 \neq0\)

                          \(x \neq -20\)

\(120(x + 20) - 120x =x(x + 20)\)

\(\cancel{120x} + 2400 - \cancel{120x} = x^2 +20x\)

\(x^2 +20 x - 2400 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 20\),  \(c = -2400\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=20^2 - 4\cdot1\cdot(-2400)=\)

\(=400 + 9600=10000\),    \(\sqrt D = 100\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-20+100}{2\cdot1}=\frac{80}{2}=40\).

\( x_2 = \frac{-20-100}{2\cdot1}=\frac{-120}{2}=-60\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

1) \(40\) (км/ч) - скорость первого автомобиля.

2) \(40+20=60\) (км/ч) - скорость второго автомобиля.

Ответ: \(40\) км/ч и \(60\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). Для медленного и быстрого автомобилей соответственно: \[ t_{1}=\frac{120}{x},\qquad t_{2}=\frac{120}{x+20}. \] По условию \(t_{1}-t_{2}=1\), откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+20}=1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 +20 x - 2400 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 40\) и \(x_2 = -60\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость первого автомобиля равна \(40\) км/ч. Скорость второго автомобиля на 20 км/ч больше, значит, она равна:

\(40+20=60\) (км/ч).

\( y^2-(2b-1)y+b^2-b-2=0 \)

\(A = 1\),  \(B = 2b-1\),  \(C = b^2 -b-2\)

\(y _1 + y_2 = 7\),

где \(y_1\) и \(y_2\) - корни уравнения.

По теореме Виета:

\( y_1+y_2=2b-1\)

\( 2b-1=7 \)

\( 2b=7+1 \)

\( 2b=8\)

\(b = \frac82\)

\( b=4 \)

Ответ: при \( b=4 \).

Пояснения:

Мы использовали свойство суммы корней квадратного уравнения:

\(y_1+y_2=-\frac{B}{A}\). Приравняв это значение к 7, получили единственное значение параметра \(b=4\), при котором сумма корней уравнения

\( y^2-(2b-1)y+b^2-b-2=0 \) равна 7.