Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№578 учебника 2023-2025 (стр. 135):
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
а) \(x^{2}-37x+27=0\);
б) \(y^{2}+41y-371=0\);
в) \(x^{2}-210x=0\);
г) \(y^{2}-19=0\);
д) \(2x^{2}-9x-10=0\);
е) \(5x^{2}+12x+7=0\);
ж) \(-z^{2}+z=0\);
з) \(3x^{2}-10=0\).
№578 учебника 2013-2022 (стр. 133):
Решите уравнение:
а) \(\dfrac{x(x-3)}{6}-\dfrac{x}{2}=0;\)
б) \(\dfrac{x(x+1)}{3}+\dfrac{8+x}{4}=2.\)
№578 учебника 2023-2025 (стр. 135):
Вспомните:
№578 учебника 2013-2022 (стр. 133):
Вспомните.
№578 учебника 2023-2025 (стр. 135):
а) \(x^{2}-37x+27=0\)
\(a=1,\;b=-37,\;c=27\)
\(D=b^2 - 4ac =\)
\(=(-37)^2 -4\cdot1\cdot27=\)
\(=1369 - 108 = 1261 >0\).
\(x_1+x_2=37\)
\(x_1\cdot x_2=27.\)
б) \(y^{2}+41y-371=0\)
\(a=1,\;b=41,\;c=-371\)
\(D=b^2 - 4ac =\)
\(=41^2 - 4\cdot1\cdot(-371) =\)
\( = 1681 - 1484 = 3165 >0\).
\(x_1+x_2=-41\)
\(x_1\cdot x_2=-371.\)
в) \(x^{2}-210x=0\)
\(a=1,\;b=-210,\;c=0\)
\(x_1+x_2=210\)
\(x_1\cdot x_2=0.\)
г) \(y^{2}-19=0\)
\(a=1,\;b=0,\;c=-19\)
\(x_1+x_2=0\)
\(x_1\cdot x_2=-19.\)
д) \(2x^{2}-9x-10=0\) \(/ : 2\)
\(x^{2}-4,5x-5=0\)
\(a=1,\;b=-4,5,\;c=-5\)
\(D=b^2 - 4ac = \)
\(=(-4,5)^2 - 4\cdot1\cdot(-5)=\)
\(=20,25 + 20 = 40,25 > 0\).
\(x_1+x_2=4,5\)
\(x_1\cdot x_2=-5.\)
е) \(5x^{2}+12x+7=0\) \(/ : 5\)
\(x^{2}+2,4x+1,4=0\)
\(a=1,\;b=2,4,\;c=1,4\)
\(x_1+x_2=-2,4\)
\(x_1\cdot x_2=1,4.\)
ж) \(-z^{2}+z=0\) \(/\times (-1)\)
\(z^{2}-z=0\)
\(a=1,\;b=-1,\;c=0\)
\(x_1+x_2=1\)
\(x_1\cdot x_2=0.\)
з) \(3x^{2}-10=0\) \(/ : 3\)
\(3x^{2}-\frac{10}{3}=0\)
\(x^{2}-3\frac{1}{3}=0\)
\(a=3,\;b=0,\;c=-10\)
\(x_1+x_2=0\)
\(x_1\cdot x_2=-3\frac{1}{3}.\)
Пояснения:
Полное квадратное уравнение:
\(ax^2 +bx + c =0\).
У приведенного квадратного уравнения:
\(a = 1\), то есть уравнение имеет вид:
\(x^2 +bx + c =0\).
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Если корни приведенного уравнения \(x_{1}\) и \(x_{2}\), то:
\(x_{1}+x_{2}=-b\),
\(x_{1}\cdot x_{2}=c\).
Если уравнение не приведенное, то обе части уравнения делим на коэффициент \(a\).
Также в полных квадратных уравнениях проверяем знак дискриминанта, чтобы определить наличие корней:
В неполных квадратных уравнениях при (\(b=0\)) сумма корней равна нулю; при \(c=0\) произведение корней равно нулю.
№578 учебника 2013-2022 (стр. 133):
а) \(\dfrac{x(x-3)}{6}-\dfrac{x}{2}=0\) \(/\times6\)
\(x(x-3)-3x =0\)
\(x^2 - 3x - 3x = 0\)
\(x^2 - 6x = 0\)
\(x(x - 6) = 0\)
\(x=0\) или \(x-6=0\)
\(x=6\)
Ответ: \(0; 6.\)
б) \(\dfrac{x(x+1)}{3}+\dfrac{8+x}{4}=2\) \(/\times12\)
\( 4x(x+1)+3(8+x)=24\)
\(4x^2 + 4x + 24 + 3x - 24=0\)
\(4x^2+7x=0\)
\(x(4x + 7) = 0\)
\(x=0\) или \(4x +7=0\)
\(4x=-7\)
\(x=-\frac{7}{4}\)
\(x=-1\frac{3}{4}\)
Ответ: \(0\); \(-1\frac{3}{4}\).
Пояснения:
Использованные приемы:
1. В каждом случае избавляемся в уравнениях от дробей. Для этого домножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
2. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака корни уравнения не изменяются.
В пунктах а) и б) получилось неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
В пунктах в) и г) получилось линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).
Вернуться к содержанию учебника