Упражнение 574 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{8a^{3}-27}{9-12a+4a^{2}} =\)

\(=\frac{(2a)^{3}-3^{3}}{4a^{2}-12a+9} =\)

\(=\frac{\cancel{(2a-3)}(4a^{2}+6a+9)}{(2a-3)^{\cancel{2}}} =\)

\(=\frac{4a^{2}+6a+9}{2a-3} \).

б) \( \frac{ax-2x-4a+8}{3a-6-ax+2x} =\)

\(=\frac{x(a-2)-4(a-2)}{a(3-x)-2(3-x)} =\)

\(=\frac{\cancel{(a-2)}(x-4)}{(3-x)\cancel{(a-2)}} =\)

\(=\frac{x-4}{3-x}\).

Пояснения:

Использованные правила.

1) Разность кубов двух выражений:

\( a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}). \)

2) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^2\).

3) Свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

4) Вынесение общего множителя (группировка):

\(ab + ac = a(b+c)\);

\(a(m+n) + b(m+n\) = (m+n)(a+b)\).

5) Сокращение дроби:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

Пусть \(x\) см — сторона квадрата, тогда основание коробки имеет размеры \((60-2x)\) см и \((40-2x)\) (см). Площадь основания коробки равна \(800\) см².

Составим уравнение:

\((60-2x)(40-2x)=800\)

\(2400-120x-80x+4x^2=800\)

\(4x^2-200x+2400-800=0\)

\(4x^2-200x+1600=0\)       \( / : 4\)

\(x^2-50x+400=0\)

\(a=1\), \(b=-50\), \(c=400\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-50)^2-4\cdot1\cdot400=\)

\(=2500-1600=900\)    \(\sqrt D=30\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-50)+30}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{80}{2}=40\) - не удовлетворяет условию.

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-50)-30}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{20}{2}=10\) - сторона квадрата.

Ответ: сторона квадрата 10 см.

Пояснения:

Площадь прямоугольника:

\(\,S=ab\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

После вырезания по углам квадратов со стороной \(x\) длина и ширина основания уменьшаются на \(2x\), поэтому основание коробки имеет размеры \((60-2x)\) см и \((40-2x)\) (см). Тогда относительно площади можно составить уравнение::

\((60-2x)(40-2x)=800\).

В левой части уравнения, умножив многочлен на многочлен, раскрыли скобки, слагаемое из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знака, привели подобные, получили полное квадратное уравнение:

\(4x^2-200x+1600=0\) 

Для упрощения разделили обе части уравнения на 4:

\(x^2-50x+400=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня: 40 и 10. Но сторона квадрата не может быть равна 40 см, так как 40 см сторона коробки. Поэтому искомая сторона квадрата равна 10 см.