Упражнение 570 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть всего было \(x\) команд, тогда каждая команда сыграла \((x-1)\) раз.

Составим уравнение:

\(\dfrac{x(x-1)}{2}=36\)    \(/\times2\)

\(x(x-1)=72\)

\(x^2-x-72=0\)

\(a=1\), \(b=-1\), \(c=-72\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 -4\cdot1\cdot(-72)=\)

\(=1+288=289\);    \(\sqrt{D}=17\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-1)+17}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{18}{2}=9\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-1)-17}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-16}{2}=-8\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\)

Ответ: \(9\) команд.

Пояснения:

Пусть всего было \(x\) команд, тогда каждая команда сыграла \(x-1\) раз. Значит, число матчей равно количеству пар команд:

\(\dfrac{n(n-1)}{2}=36\).

Обе части уравнения домножили на \(2\), раскрыли скобки, слагаемое из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-x-72=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество команд может быть только натуральным числом. Положительный корень и есть искомое число команд.

Пусть всего было \(x\) обезьян. Тогда в гроте спряталось \(\left(\frac{x}{5}-3\right)^2\) обезьян и одна обезьяна была видна.

Составим уравнение:

\( \left(\frac{x}{5}-3\right)^2+1=x \)

\( \left(\frac{x}{5}\right)^2 - 2\cdot\frac{x}{5}\cdot3+3^2+1=x \)

\( \frac{x^2}{25}-\frac{6x}{5}+10=x \)    \(/\times25\)

\(x^2-30x+250=25x\)

\(x^2-30x+250-25x=0\)

\( x^2-55x+250=0 \)

\(a=1\), \(b=-55\), \(c=250\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=55^2-4\cdot1\cdot250=\)

\(=3025-1000=2025\);    \(\sqrt D=45\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-55)+45}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{100}{2}=50\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-55)-45}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{10}{2}=5\) - не удовлетворяет условию, так как

\(\frac15\cdot5-3 = 1 - 3 = -2 <0\).

Ответ: было 50 обезьян.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая условие, составили уравнение:

\( \left(\frac{x}{5}-3\right)^2+1=x \)

Выполнили возведение в квадрат по формуле квадрата разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2\).

Учитывали свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Затем умножили обе части уравнения на \(25\), перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, привели подобные и получили полное квадратное уравнение:

\( x^2-55x+250=0 \).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. При этом согласно условию квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на 3, спрятался в гроте, значит, пятая часть обезьян должна быть больше трех, следовательно, корень, равный 5, не удовлетворяет условию задачи:

\(\frac15\cdot5-3 = 1 - 3 = -2 <0\).

Оставшийся корень, удовлетворяет всем условиям задачи, то есть всего было 50 обезьян.