Упражнение 573 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x-1,\;x,\;x+1\) - три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 869.

Составим уравнение:

\((x-1)^2+x^2+(x+1)^2=869\)

\(x^2-\cancel{2x}+1+x^2+x^2+\cancel{2x}+1=869\)

\(3x^2+2=869\)

\(3x^2=869-2\)

\(3x^2=867\)

\(x^2=289\)

\(x_1 = -\sqrt{289}\)   и   \(x_2 = \sqrt{289}\)

\(x_1=-17\)              \(x_2=17\)

Ответ: числа \(16,17,18\) или числа \(-18,-17,-16\).

Пояснения:

Последовательные числа удобно обозначить как \(x-1,\;x,\;x+1\).

Составляем уравнение, учитывая то, что сумма квадратов трех последовательных чисел равна 289:

\((x-1)^2+x^2+(x+1)^2=869\).

Раскрываем скобки по формулам квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные, получаем:

\(3x^2+2=869\).

Решая уравнение, получаем \(x=\pm17\), что даёт две возможные последовательности чисел — положительную и отрицательную, обе последовательности удовлетворяют условию.

Пусть \(x\) - число участников турнира, тогда каждый участник сыграл \((x-1)\) партию.

Составим уравнение:

\(\frac{x(x-1)}{2}=45\)    \(/\times2\)

\( x(x-1)=90 \)

\(x^2-x-90=0\)

\(a=1\), \(b=-1\), \(c=-90\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-90) =\)

\(=1+360=361\);    \(\sqrt D=19\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)+19}{2}=\)

\(=\frac{20}{2}=10\).

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)-19}{2}=\)

\(=\frac{-18}{2}=-9\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\).

Ответ: \(10\) участников.

Пояснения:

Пусть \(x\) - число участников турнира, тогда каждый участник сыграл \((x-1)\) партию. Значит, общее число партий равно числу пар участников:

\(\frac{x(x-1)}{2}=45\).

Обе части уравнения домножили на \(2\), раскрыли скобки, слагаемое из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-x-90=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество участников может быть только натуральным числом. Положительный корень и есть искомое число участников турнира.