Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№553 учебника 2023-2025 (стр. 127):
Существует ли такое значение \(a\), при котором уравнение
\(x^2 - ax + a - 4 = 0\):
а) не имеет корней;
б) имеет один корень;
в) имеет два корня?
№553 учебника 2013-2022 (стр. 129):
Существует ли такое значение \(a\), при котором верно равенство (если существует — найдите его):
а) \(3a + 0{,}6 = 9a^2 + 0{,}36;\)
б) \(0{,}4a + 1{,}2 = 0{,}16a^2 + 1{,}44\)?
№553 учебника 2023-2025 (стр. 127):
Вспомните:
№553 учебника 2013-2022 (стр. 129):
Вспомните:
№553 учебника 2023-2025 (стр. 127):
\(x^2 - ax + a - 4 = 0\)
\(a = 1\), \(b = a\), \(c = a - 4\).
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=a^2 - 4\cdot1\cdot(a-4) =\)
\(=a^2 - 4a + 16 = \)
\(=a^2 - 4a + 4 + 12 = \)
\(=(a-2)^2 + 12 > 0\) при любом \(a\), значит, уравнение имеет два корня.
Ответ: а) не существует;
б) не существует;
в) существует.
Пояснения:
Количество корней полного квадратного уравнения
\(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта.
Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
№553 учебника 2013-2022 (стр. 129):
а) \( 3a + 0{,}6 = 9a^2 + 0{,}36 \)
\( 3a + 0{,}6 - 9a^2 - 0{,}36=0 \)
\(-9a^2+3a + 0,24 = 0\)
\(9a^2 - 3a - 0{,}24 = 0\) \(/ : 3\)
\( 3a^2 - a - 0,08 = 0 \) \(/\times25\)
\(75a^2 - 25a - 2 = 0\)
\(a=75\), \(b=-25\), \(c=-2\).
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-25)^2 - 4\cdot75\cdot(-2) =\)
\(=625 + 600 = 1225\); \(\sqrt{D}=35\)
\(a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-25) + 35}{2\cdot75}=\)
\(=\frac{60}{150} = \frac{2}{5} = 0,4\).
\(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-25) - 35}{2\cdot75}=\)
\( = \frac{-10}{150} = -\frac{1}{15} \).
Ответ: при \(a_1 = 0,4\), \(a_2 =-\frac{1}{15} \).
б) \( 0{,}4a + 1{,}2 = 0{,}16a^2 + 1{,}44 \)
\( 0{,}4a + 1{,}2 - 0{,}16a^2 - 1{,}44 =0\)
\(0{,}16a^2 - 0{,}4a + 0{,}24 = 0\) \(/\times100\)
\( 16a^2 - 40a + 24 = 0 \) \( / : 8\)
\(2a^2 - 5a + 3 = 0\)
\(a=2\), \(b=-5\), \(c=3\).
\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot3 =\)
\(=25 - 24 = 1\); \(\sqrt{D}=1\).
\(a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 1}{2\cdot2} =\)
\(=\frac{6}{4} = 1{,}5\)
\(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 1}{2\cdot2} =\)
\( = \frac{4}{4} = 1\).
Ответ: при \(a_1 = 1,5\), \(a_2 = 1\).
Пояснения:
Приводим каждое равенство к стандартному квадратному виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого, если необходимо, умножаем обе части уравнение на такое число, чтобы все коэффициенты стали целочисленными, и переносим все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив знаки на противоположные.
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Вернуться к содержанию учебника