Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№552 учебника 2023-2025 (стр. 127):
(Задача-исследование.) Решите уравнения:
а) \(\;x^2 - 5x + 6 = 0\) и \(\;6x^2 - 5x + 1 = 0\);
б) \(\;2x^2 - 13x + 6 = 0\) и \(\;6x^2 - 13x + 2 = 0\).
1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая - задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений \(ax^2 + bx + c= 0\) и \(cx^2 + bx + a= 0\).
3) Докажите, что ваше предположение верно.
№552 учебника 2013-2022 (стр. 129):
При каких значениях \(x\) верно равенство:
а) \(\displaystyle \frac{1}{7}x^2 = 2x - 7\);
б) \(\displaystyle x^2 + 1,2 = 2{,}6x\);
в) \(\displaystyle 4x^2 = 7x + 7{,}5\)?
№552 учебника 2023-2025 (стр. 127):
Вспомните:
№552 учебника 2013-2022 (стр. 129):
Вспомните:
№552 учебника 2023-2025 (стр. 127):
1) а) 1) \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\(D = b^2 - 4ac =(-5)^2 -4\cdot1\cdot6 =\)
\(=25 -24 = 1\); \(\sqrt D = 1\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-5) + 1}{2\cdot1}=\)
\(=\frac{6}{2} = 3\).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-5) - 1}{2\cdot1}=\)
\(=\frac{4}{2} = 2\).
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 2\).
2) \( 6x^2 - 5x + 1 = 0\)
\(a=6\), \(b=-5\), \(c=1\).
\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot6\cdot1 = \)
\(25 - 24 = 1\); \(\sqrt{D} = 1\).
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) - 1}{2\cdot6} =\)
\(=\frac{4}{12} = \frac13\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-5) + 1}{2\cdot6} =\)
\(=\frac{6}{12} = \frac12\).
Ответ: \(x_1 = \frac13\), \(x_2 = \frac12\).
б) 1) \( 2x^2 - 13x + 6 = 0 \)
\(a=2\), \(b=-13\), \(c=6\).
\(D = b^2 - 4ac =(-13)^2 -4\cdot2\cdot6 =\)
\(=169 - 48 = 121\); \(\sqrt{D} =11\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13) + 11}{2\cdot2}=\)
\(=\frac{24}{4} = 6\).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13) - 11}{2\cdot2}=\)
\(=\frac{2}{4} = \frac12\).
Ответ: \(x_1 = 6\), \(x_2 = \frac12\).
2) \( 6x^2 - 13x + 2 = 0\)
\(a=6\), \(b=-13\), \(c=2\).
\(D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4\cdot6\cdot2 =\)
\(=169 - 48 = 121\); \(\sqrt{D} = 11\)
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13) - 11}{2\cdot6} =\)
\(= \frac{2}{12} = \frac16\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13) + 11}{2\cdot6} =\)
\(=\frac{24}{12} = 2\).
Ответ: \(x_1 = \frac16\), \(x_2 = 2\).
2) Сравнение:
В уравнениях, у которых коэффициенты а и с поменяли местами корни взаимно обратны.
3) Доказательство:
1) \ax^2 + bx + c = 0\)
\(D = b^2 - 4ac\)
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\).
2) \(cx^2 + bx + a = 0\)
\(D = b^2 - 4ca = b^2 - 4ac\).
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2c}\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2c}\)
3) \(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2c}=\)
\(=\frac{-(b - \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a}\cdot \frac{-(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{2c}=\)
\(=\frac{(b - \sqrt{b^2 - 4ac})(b + \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a\cdot2c}=\)
\(=\frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4ac}=\)
\(=\frac{\cancel{b^2} - \cancel{b^2} + 4ac}{4ac}=\frac{4ac}{4ac}=1\)
Аналогично, произведение двух других корней равно 1. Значит, корни взаимно обратны.
Пояснения:
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
При доказательстве использовали:
1. Произведение взаимно обратных чисел равно единице.
2. Свойство корня:
\((\sqrt{a})^2= a\).
3. Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
4. Разность квадратов двух выражений:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
№552 учебника 2013-2022 (стр. 129):
а) \( \frac{1}{7}x^2 = 2x - 7 \) \(/\times7\)
\(x^2 = 14x - 49 \)
\(x^2 - 14x + 49 = 0 \)
\(a=1\), \(b=-14\), \(c=49\).
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-14)^2 - 4\cdot1\cdot49=\)
\(=196 - 196 = 0\).
\(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-14}{2\cdot1} = \frac{14}{2} = 7\)
Ответ: при \(x = 7\).
б) \( x^2 + 1,2 = 2{,}6x\) \(/\times5\)
\( 5x^2 + 6 =13x\)
\(5x^2 - 13x + 6 = 0\)
\(a=5\), \(b=-13\), \(c=6\).
\(D = b^2 - 4ac= (-13)^2 - 4\cdot5\cdot6 =\)
\(=169 - 120 = 49\); \(\sqrt{D}=7\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + 7}{2\cdot5} =\)
\(=\frac{20}{10} = 2\).
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-13) - 7}{2\cdot5} =\)
\(=\frac{6}{10} = 0{,}6 \).
Ответ: при \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 0{,}6 \).
в) \( 4x^2 = 7x + 7{,}5\) \(/\times2\)
\(8x^2 = 14x + 15\)
\(8x^2 - 14x - 15 = 0\)
\(a=8\), \(b=-14\), \(c=-15\).
\(D = b^2 - 4ac=\)
\(=(-14)^2 - 4\cdot8\cdot(-15) =\)
\(=196 + 480 = 676\); \(\sqrt{D}=26\).
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) + 26}{2\cdot8} =\)
\(=\frac{40}{16}= \frac52 = 2{,}5\).
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-14) - 26}{2\cdot8} =\)
\(= \frac{-12}{16}=-\frac34 = -0{,}75\).
Ответ: при \(x_1 = 2,5\) и \(x_2 = -0{,}75\).
Пояснения:
Приводим каждое равенство к стандартному квадратному виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого, если необходимо, умножаем обе части уравнение на такое число, чтобы все коэффициенты стали целочисленными, и переносим все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив знаки на противоположные.
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Вернуться к содержанию учебника