Упражнение 532 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^2 - 7x + 4 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -7\),  \(c = 4\)

\(D =b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot3\cdot4 = \)

\(=49-48=1\);    \(\sqrt{D} = 1\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{7+1}{2\cdot3}=\frac{8}{6}=\)

\(=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{7-1}{2\cdot3}=\frac{6}{6}=1.\)

Ответ: \(x_1 =1\frac{1}{3}\), \(x_2 =1\).

б) \(5x^2 - 8x + 3 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -8\),  \(c = 3\)

\(D =b^2 - 4ac = (-8)^2 -4\cdot5\cdot3 =\)

\(=64-60=4\);    \(\sqrt{D} = 2\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-8)+2}{2\cdot5}=\)

\(= \frac{10}{10}=1\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-8)-2}{2\cdot5}=\)

\(=\frac{6}{10}=0,6.\)

Ответ: \(x_1 =1\),  \(x_2 =0,6\).

в) \(3x^2 - 13x + 14 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -13\),  \(c = 14\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 -4\cdot3\cdot14 =\)

\(=169-168=1\);     \(\sqrt{D} = 1\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-13)+1}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{14}{6}=\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}\).

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-13)-1}{2\cdot3}=\)

\(=\frac{12}{6}=2\).

Ответ: \(x_1 = 2\frac{1}{3}\), \(x_2 =2\).

г) \(2y^2 - 9y + 10 = 0\)

\(a = 2\),  \(b = -9\),  \(c = 10\)

\(D =b^2 - 4ac = (-9)^2 -4\cdot2\cdot10 =\)

\(=81-80=1\);    \(\sqrt{D} = 1\).

\(y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9)+1}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} = 2,5\)

\(y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-9)-1}{2\cdot2}=\)

\(=\frac{8}{4}=2\)

Ответ: \(y_1 = 2,5\), \(y_2 = 2\).

д) \(5y^2 - 6y + 1 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -6\),  \(c = 1\)

\(D =b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot5\cdot1 =\)

\(=36-20=16\);    \(\sqrt{D} = 4\).

\(y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6)+4}{2\cdot5}=1\).

\(y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-6)-4}{2\cdot5}=\)

\(=\frac{2}{10}=0,2\).

Ответ: \(y_1 =1\), \(y_2 = 0,2\).

е) \(4x^2 + x - 33 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = 1\),  \(c = -33\)

\(D =b^2 - 4ac = 1^2 -4\cdot4\cdot(-33) =\)

\(=1+528=529\);    \(\sqrt{D} = 23\).

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1+23}{2\cdot4}=\)

\(=\frac{22}{8}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}\)

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1-23}{2\cdot4}=\)

\(=\frac{-24}{8}=-3.\)

Ответ: \(x_1 =2\frac{3}{4}\), \(x_2 = -3\).

ж) \(y^2 - 10y - 24 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = -24\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-10)^2 -4\cdot1\cdot(-24) =\)

\(=100+96=196\);    \(\sqrt{D} = 14\).

\(y_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10)+14}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{24}{2}=12\).

\(y_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-(-10)-14}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-4}{2}=-2\).

Ответ: \(y_1 = 12\), \(y_1 =-2\).

з) \(p^2 + p - 90 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -90\)

\(D =b^2 - 4ac = 1^2 -4\cdot1\cdot(-90) =\)

\(=1+360=361\);    \(\sqrt{D} = 19\).

\(p_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1+19}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{18}{2}=9\).

\(p_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}= \frac{-1-19}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-20}{2}=-10\).

Ответ: \(p_1 =9\), \(p_2 =-10\).

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

\( \frac{9 + 6x + x^2}{x + 3} + \sqrt{x} =\)

\(=\frac{(x+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{x+3}} + \sqrt{x}=\)

\(=x + 3 + \sqrt{x}. \)

Если \(x = 0{,}36\), то

\( 0{,}36 + 3 + \sqrt{0{,}36} =\)

\(=3{,}36 + 0{,}6 = 3{,}96. \)

Если \(x = 49\), то

\( 49 + 3 + \sqrt{49} = 52 + 7 = 59. \)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1.Сначала выражение упростили, затем вместо переменных подставили числовые значения и выполнили вычисления.

2. Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

3. Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).