Упражнение 168 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Если \(x=\frac{ab}{a+b}\), то

\( \frac{x - a}{x - b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} }{\frac{ab}{a+b} - b ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} } =\)

\(=\frac{\frac{ab - a(a+b)}{a+b}}{\frac{ab - b(a+b)}{a+b}} =\)

\(=\frac{\cancel{ab} - a^2-\cancel{ab}}{a+b} : \frac{\cancel{ab} - \cancel{ab}-b^2}{a+b}=\)

\(=\frac{-a^2}{a+b} : \frac{-b^2}{a+b} = \)

\(=\frac{a^2}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{b^2} = \frac{a^2}{b^2}. \)

б) Если \(x = \displaystyle\frac{a - b}{a + b}\), то

\( \frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}= \frac{\frac{a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} - \frac{a-b}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} }{\frac{b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} + \frac{a-b}{a+b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} } =\)

\(=\frac{\frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)}}{\frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)}} =\)

\(=\frac{a^2 + \cancel{ab} - \cancel{ab} + b^2}{b(a+b)} : \frac{\cancel{ab} + b^2 + a^2 - \cancel{ab}}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{a^2 + b^2}{b(a+b)} : \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} =\)

\(=\frac{ \cancel{a^2 + b^2}}{b \cancel{(a+b)}} \cdot \frac{a \cancel{(a+b)}}{ \cancel{a^2 + b^2}} = \frac{a}{b}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Учитываем то, что черту дроби можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

Подробные пояснения к шагам:

В пункте а) в числителе и знаменателе выражения заменили \(x\) на \(\frac{ab}{a+b}\), затем вычли \(a\) и \(b\) из дроби с общим знаменателем \(a+b\). Получив две дроби с одинаковым знаменателем, сократили \(\frac{1}{a+b}\) и убрали минусы при делении, что дало \(\frac{a^2}{b^2}\).

В пункте б) аналогично подставили \(x=\frac{a-b}{a+b}\). В числителе и знаменателе вычли/сложили дроби с разными знаменателями \(b\) и \(a+b\), привели каждую сумму к общему знаменателю, получили две дроби с одинаковым числителем \((a^2+b^2)\) и разными знаменателями, затем при делении дробей сократили \(\,(a^2+b^2)\) и \((a+b)\), в результате осталось \(\frac{a}{b}\).

а) \( \frac{\frac{a^2}{4 }^{\color{blue}{\backslash9} }-\frac{b^2}{9} ^{\color{blue}{\backslash4}} }{\frac{a}{12} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\frac{b}{18} ^{\color{blue}{\backslash2}} } =\)

\(=\frac{9a^2-4b^2}{36} : \frac{3a+2b}{36} =\)

\(=\frac{9a^2-4b^2}{\cancel{36}} \cdot \frac{\cancel{36}}{3a+2b} =\)

\(=\frac{9a^2-4b^2}{3a+2b} =\)

\(=\frac{(3a-2b)\cancel{(3a+2b)}}{\cancel{3a+2b}} =\)

\(=3a-2b. \)

Если \(a=\frac{2}{3},\,b=-\frac12\), то

\( 3a-2b =3\cdot\frac{2}{3}-2\cdot\bigl(-\frac12\bigr) =\)

\(=2+1 =3. \)

б) \( \frac{0{,}2a - b}{\frac{a^2}{25} - b^2  ^{\color{blue}{\backslash25}} } =\frac{\frac{a}{5}-b ^{\color{blue}{\backslash5}} }{\displaystyle\frac{a^2-25b^2}{25}} =\)

\(=\frac{a-5b}{5} : \frac{(a-5b)(a+5b)}{25} =\)

\(=\frac{\cancel{a-5b}}{\cancel{5}}\cdot\frac{\cancel{25}  ^5}{\cancel{(a-5b)}(a+5b)} =\)

\(=\frac{5}{a+5b}. \)

Если \(a=-8,\,b=0{,}6\), то

\( \frac{5}{a+5b} =\frac{5}{-8+5\cdot0{,}6} =\)

\(=\frac{5}{-8+3} =\frac{5}{-5} =-1. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Дробь всегда можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

6) Свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\).