Упражнение 164 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \left(\frac{9}{n^2} ^{\color{blue}{\backslash3}} +\frac{n}{3} ^{\color{blue}{\backslash{n^2}}} \right) : \left(\frac{3}{n^2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\frac{1}{n} ^{\color{blue}{\backslash{3n}}} +\frac{1}{3} ^{\color{blue}{\backslash{n^2}}} \right)= \)

\(= \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2}=\)

\(= \frac{(3 + n)(9 - 3n + n^2)}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2}=\)

\(= \frac{(3 + n)\cancel{(9 - 3n + n^2)}\cdot \cancel{3n^2}}{\cancel{3n^2}\cdot\cancel{(9 - 3n + n^2)}} =\)

\(=3+n\) - при любом натуральном \(n\) является натуральным числом.

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4)  Формула суммы кубов:

\(\displaystyle a^3 + b^3 = (a + b)\,(a^2 - a b + b^2).\)

Пояснения к шагам:

1) дроби \(\frac{9}{n^2}\) и \(\frac{n}{3}\) приведены к общему знаменателю \(3n^2\) и сложены.

2) три слагаемых \(\frac{3}{n^2}\), \(\frac{1}{n}\) и \(\frac{1}{3}\) также приведены к общему знаменателю \(3n^2\) и объединены.

3) при делении дробей знаменатели \(3n^2\) сокращаются, остаётся \(\frac{n^3+27}{n^2-3n+9}\). По формуле суммы кубов разложили \(n^3+27\) на

\((n+3)(n^2-3n+9)\) и сократили общий множитель, получив натуральное число \(n+3\).

а) \( \frac{1 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{1}{x}}{1^{\color{blue}{\backslash{x}}} + \frac{1}{x}} = \frac{x-1}{x}  : \frac{x+1}{x} =\)

\(=\frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{x+1} = \frac{x - 1}{x + 1}. \)

б) \( \frac{\frac{2a - b}{b} + 1 ^{\color{blue}{\backslash{b}}} }{\frac{2a + b}{b} - 1 ^{\color{blue}{\backslash{b}}} } =\)

\(=\frac{2a - b+b}{b} : \frac{2a + b-b}{b}  =\)

\(= \frac{2a}{b} : \frac{2a}{b} = 1. \)

в) \( \frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2} : \frac{x^3 - y^3}{x^2y^2} =\)

\(=\frac{x^3 + y^3}{\cancel{x^2y^2}} \cdot \frac{\cancel{x^2y^2}}{x^3 - y^3} =\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}. \)

г) \( \frac{\frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{bc}}} + \frac{1}{b} ^{\color{blue}{\backslash{ac}}} + \frac{1}{c} ^{\color{blue}{\backslash{ab}}} }{\frac{1}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{1}{bc} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} + \frac{1}{ac} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} } =\)

\(=\frac{bc + ac + ab}{abc} : \frac{c + a + b}{abc} =\)

\(=\frac{bc + ac + ab}{\cancel{abc}} \cdot \frac{\cancel{abc}}{c + a + b} =\)

\(=\frac{bc + ac + ab}{c + a + b}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Учитываем то, что черту дроби можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).