Упражнение 95 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{b - 6}{4 - b^2} + \frac{2}{2b - b^2}=\)

\(= \frac{b-6}{(2-b)(2+b)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{2}{b(2-b)} ^{\color{blue}{\backslash{2+b}}} = \)

\(=\frac{b(b-6) + 2(2+b)}{b(2-b)(2+b)} =\)

\(=\frac{b^2-6b + 4+2b}{b(2-b)(2+b)} =\)

\(=\frac{b^2 -4b +4}{b(2-b)(2+b)} =\)

\(=\frac{(b-2)^2}{b(2-b)(b+2)} = \)

\(=\frac{(2-b)^2}{b(2-b)(b+2)} = \frac{2-b}{b(b+2)} \)

б)\( \frac{b}{ab - 5a^2} - \frac{15b - 25a}{b^2 - 25a^2}=\)

\(= \frac{b}{a(b-5a)} ^{\color{blue}{\backslash{b+5a}}} - \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{b(b+5a) - a(15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)} =\)

\(=\frac{b^2+5ab - 15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} =\)

\(=\frac{b^2 -10ab +25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} =\)

\(=\frac{(b-5a)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(b-5a)}(b+5a)} = \frac{b-5a}{a(b+5a)}.\)

в) \( \frac{x - 12a}{x^2 - 16a^2} - \frac{4a}{4ax - x^2}=\)

\(= \frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} + \frac{4a}{x(x-4a)} ^{\color{blue}{\backslash{x+4a}}} =\)

\(=\frac{x(x-12a) + 4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} =\)

\(=\frac{x^2-12ax + 4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} =\)

\(=\frac{x^2 -8ax +16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} =\)

\(=\frac{(x-4a)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x-4a)}(x+4a)} = \frac{x-4a}{x(x+4a)}.\)

г) \( \frac{a - 30y}{a^2 - 100y^2} - \frac{10y}{10ay - a^2}=\)

\(= \frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} + \frac{10y}{a(a-10y)} ^{\color{blue}{\backslash{a+10y}}} =\)

\(=\frac{a(a-30y) + 10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} =\)

\(=\frac{a^2-30ay + 10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} =\)

\(=\frac{a^2 -20ay +100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} =\)

\(=\frac{(a-10y)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a-10y)}(a+10y)} =\)

\(=\frac{a-10y}{a(a+10y)}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) Затем в числителе применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\).

5) Свойство степени:

\(a^nb^b = (ab)^n\).

6) Сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \(\displaystyle \frac{x+1}{x^2 - x} - \frac{x+2}{x^2 - 1}=\)

\(=\displaystyle \frac{x+1}{x(x -1)} ^{\color{blue}{\backslash{x+1}}} - \frac{x+2}{(x - 1)(x+1)} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{(x+1)^2-x(x+2)}{x(x -1)(x+1)} =\)

\(=\displaystyle \frac{\cancel{x^2}+\cancel{2x}+1-\cancel{x^2}-\cancel{2x}}{x(x -1)(x+1)} =\)

\(= \frac{1}{x(x-1)(x+1)}. \)

Если \(x = -1,5\), то

\(\frac{1}{-1,5\cdot(-1,5-1)\cdot(1,5+1)}= \)

\(=\frac{1}{-1,5\cdot(-2,5)\cdot(-0,5)}= \)

\(=-\frac{1}{\frac32\cdot\frac52\cdot\frac12}=-\frac{1}{\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15}\)

б) \(\frac{x+2}{x^2 + 3x} - \frac{1 + x}{x^2 - 9}=\)

\(=\frac{x+2}{x(x + 3)} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} - \frac{1 + x}{(x - 3)(x+3)} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)

\(=\frac{(x+2)(x-3) - x(x+1)}{x(x - 3)(x+3)}=\)

\(=\frac{\cancel{x^2}-3x+2x-6 - \cancel{x^2}-x}{x(x - 3)(x+3)}=\)

\(=\frac{-2x-6 }{x(x - 3)(x+3)}=\)

\(=\frac{-2\cancel{(x+3)}}{x(x - 3)\cancel{(x+3)}}=\frac{-2}{x(x - 3)}\)

Если \(x = -1,5\), то

\(\frac{-2}{-1,5\cdot(-1,5 - 3)}=\frac{-2}{-1,5\cdot(-4,5)}=\)

\(=\frac{-2}{\frac32\cdot\frac92}=\frac{-2}{\frac{27}{4}}=-2 : \frac{27}{4}=\)

\(=-2\cdot\frac{4}{27}=-\frac{8}{27}\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) В пункте б) в числителе выносим общий множитель за скобки, и сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

5) При \(x=-1{,}5\) последовательно вычисляем каждую часть, внимательно работая со знаками дробей.