Упражнение 98 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 - 4}=\)

\(=\frac{4}{y+2} ^{\color{blue}{\backslash{y-2}}} - \frac{3}{y-2} ^{\color{blue}{\backslash{y+2}}} + \frac{12}{(y - 2)(y+2)}=\)

\(= \frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{(y-2)(y+2)} =\)

\(= \frac{\cancel{y-2}}{\cancel{(y-2)}(y+2)} =\frac{1}{y+2}\)

б) \( \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36 - a^2}=\)

\( \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{a^2-36}=\)

\( \frac{a}{a-6} ^{\color{blue}{\backslash{a+6}}} - \frac{3}{a+6} ^{\color{blue}{\backslash{a-6}}} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}=\)

\( =\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}= \)

\( =\frac{\cancel{a^2}+6a-3a+18-\cancel{a^2}}{(a-6)(a+6)}= \)

\( =\frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}=\frac{3\cancel{(a+6)}}{(a-6)\cancel{(a+6)}}= \)

\( =\frac{3}{a-6}.\)

в) \( \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x - 2y}=\)

\( =\frac{x^2}{(x-y)^2} ^{\color{blue}{\backslash2}} - \frac{x+y}{2(x - y)} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} =\)

\( =\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}=\)

\( =\frac{2x^2-(x^2-y^2)}{2(x-y)^2}=\)

\( =\frac{2x^2-x^2+y^2}{2(x-y)^2}=\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}.\)

г) \( \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - a b}=\)

\(= \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{-b(a - b)}=\)

\(= \frac{b}{(a-b)^2} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{a+b}{b(a - b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} =\)

\(= \frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}=\)

\(= \frac{\cancel{b^2}+a^2-\cancel{b^2}}{b(a-b)^2}=\frac{a^2}{b(a-b)^2}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\);

- противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\).

3) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

4) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

а) \(\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}=\)

\(=\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{a^2-16b^2}=\)

\(=\frac{1}{a - 4b} ^{\color{blue}{\backslash{a+4b}}} - \frac{1}{a + 4b} ^{\color{blue}{\backslash{a-4b}}} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{a+4b-(a-4b)+2a}{(a - 4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{\cancel{a}+4b-\cancel{a}+4b+2a}{(a - 4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{2a+8b}{(a - 4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{2\cancel{(a+4b)}}{(a - 4b)\cancel{(a+4b)}}=\frac{2}{a-4b}.\)

б) \( \frac{1}{2b - 2a} - \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}=\)

\( =\frac{1}{2b - 2a} - \frac{1}{2b + 2a} - \frac{a^2}{b^3-a^2b}=\)

\( =\frac{1}{2(b - a)} - \frac{1}{2(b + a)} - \frac{a^2}{b(b^2-a^2)}=\)

\( =\frac{1}{2(b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{b(b+a)}}} - \frac{1}{2(b + a)} ^{\color{blue}{\backslash{b(b-a)}}} - \frac{a^2}{b(b-a)(b+a)} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{b(b+a)-b(b-a)-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)

\(=\frac{\cancel{b^2}+ab-\cancel{b^2}+ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)

\(=\frac{2ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)

\(=\frac{\cancel{2}a\cancel{(b-a)}}{\cancel{2}b\cancel{(b-a)}(b+a)}=\frac{a}{b(b+a)}\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\);

- противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\);

- свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

3) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

4) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

5) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.