Упражнение 96 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{a+4}{a^2-2a}\;-\;\frac{a}{a^2-4}=\)

\( \frac{a+4}{a(a-2)} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{a}{(a-2)(a+2)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{(a+4)(a+2)-a^2}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{a^2+4a+2a+8-a^2}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2}+6a+8-\cancel{a^2}}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{6a+8}{a(a-2)(a+2)} =\)

\(=\frac{6a+8}{a(a^2-4)}. \)

б) \(\displaystyle \frac{4-x^2}{16-x^2}\;-\;\frac{x+1}{x+4}=\)

\( \frac{4-x^2}{(4-x)(4+x)}-\frac{x+1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash{4-x}}} =\)

\(=\frac{4-x^2 - (x+1)(4-x)}{(4-x)(x+4)} =\)

\( = \frac{4-x^2 - (4x +4 -x^2 -x)}{(4-x)(x+4)} =\)

\(=\frac{4-x^2 - (3x+4 -x^2)}{(4-x)(x+4)} =\)

\(=\frac{\cancel{4}-\cancel{x^2}-3x-\cancel{4}+\cancel{x^2}}{(4-x)(x+4)} =\)

\(=\frac{-3x}{(4-x)(x+4)} = \)

\(=\frac{3x}{-(4-x)(x+4)} = \)

\(=\frac{3x}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x}{x^2-16} . \)

в) \( \frac{(a+b)^2}{a^2+ab}\;+\;\frac{(a-b)^2}{a^2-ab}=\)

\( \frac{(a+b)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a+b)}} + \frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a-b)}} =\)

\(=\frac{a+b}{a} + \frac{a-b}{a} =\)

\(=\frac{(a+b)+(a-b)}{a} =\)

\(=\frac{a+\cancel{b}+a-\cancel{b}}{a} =\frac{2\cancel{a}}{\cancel{a}} = 2. \)

г) \(\displaystyle \frac{x^2-4}{5x-10}\;-\;\frac{x^2+4x+4}{5x+10}=\)

\(= \frac{\cancel{(x-2)}(x+2)}{5\cancel{(x-2)}}  -\frac{(x+2)^{\cancel{2}}}{5\cancel{(x+2)}} = \)

\(= \frac{x+2}{5}  -\frac{x+2}{5} =0 \)

Пояснения:

В пунктах а) и б):

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним правило умножения многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

В пунктах в) и г):

раскладываем на множители числители и знаменатели, затем, не приводя дроби к общему знаменателю, сокращаем отдельно каждую дробь на общий множитель числителя и знаменателя. После сокращения получаем дроби с одинаковыми знаменатели, у которых складываем или вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним, в числителе приводим подобные и сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2 - 4}=\)

\(=\frac{4}{y+2} ^{\color{blue}{\backslash{y-2}}} - \frac{3}{y-2} ^{\color{blue}{\backslash{y+2}}} + \frac{12}{(y - 2)(y+2)}=\)

\(= \frac{4(y-2)-3(y+2)+12}{(y-2)(y+2)} =\)

\(= \frac{\cancel{y-2}}{\cancel{(y-2)}(y+2)} =\frac{1}{y+2}\)

б) \( \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36 - a^2}=\)

\( \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{a^2-36}=\)

\( \frac{a}{a-6} ^{\color{blue}{\backslash{a+6}}} - \frac{3}{a+6} ^{\color{blue}{\backslash{a-6}}} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)}=\)

\( =\frac{a(a+6)-3(a-6)-a^2}{(a-6)(a+6)}= \)

\( =\frac{\cancel{a^2}+6a-3a+18-\cancel{a^2}}{(a-6)(a+6)}= \)

\( =\frac{3a+18}{(a-6)(a+6)}=\frac{3\cancel{(a+6)}}{(a-6)\cancel{(a+6)}}= \)

\( =\frac{3}{a-6}.\)

в) \( \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x - 2y}=\)

\( =\frac{x^2}{(x-y)^2} ^{\color{blue}{\backslash2}} - \frac{x+y}{2(x - y)} ^{\color{blue}{\backslash{x-y}}} =\)

\( =\frac{2x^2-(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2}=\)

\( =\frac{2x^2-(x^2-y^2)}{2(x-y)^2}=\)

\( =\frac{2x^2-x^2+y^2}{2(x-y)^2}=\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}.\)

г) \( \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2 - a b}=\)

\(= \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{-b(a - b)}=\)

\(= \frac{b}{(a-b)^2} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{a+b}{b(a - b)} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} =\)

\(= \frac{b^2+(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2}=\)

\(= \frac{\cancel{b^2}+a^2-\cancel{b^2}}{b(a-b)^2}=\frac{a^2}{b(a-b)^2}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\);

- противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\).

3) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

4) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.