Упражнение 92 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а)  \( 1 - \frac{a+b}{a-b} =\)

\(=\frac{1}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} - \frac{a+b}{a-b} =\)

\(=\frac{(a-b) - (a+b)}{a-b} =\)

\(= \frac{\cancel{a} - b - \cancel{a} - b}{a-b}=\frac{-2b}{a-b} =\)

\(=\frac{2b}{-(a-b)}=\frac{2b}{b-a}.\)

б) \( \frac{a^2+b^2}{a-b} - a =\)

\(= \frac{a^2+b^2}{a-b} - \frac{a}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} = \)

\(=\frac{a^2+b^2 - a(a-b)}{a-b} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2} + b^2 - \cancel{a^2} + ab}{a-b} =\)

\(=\frac{b^2 + ab}{a-b} = \frac{b(a+b)}{a-b}.\)

в) \(\displaystyle m - n + \frac{n^2}{m+n} = \)

\(=\frac{m - n}{1} ^{\color{blue}{\backslash{m+n}}} + \frac{n^2}{m+n} = \)

\(=\frac{(m - n)(m + n)+n^2}{m+n} = \)

\(=\frac{m^2 - \cancel{n^2} + \cancel{n^2}}{m+n} = \frac{m^2}{m+n}.\)

г) \(\displaystyle a + b - \frac{a^2+b^2}{a+b} =\)

\(=\frac{a + b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a+b}}} - \frac{a^2+b^2}{a+b} =\)

\(=\frac{(a+b)^2 - (a^2+b^2)}{a+b} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2} + 2ab + \cancel{b^2} - \cancel{a^2} - \cancel{b^2}}{a+b} = \)

\(=\frac{2ab}{a+b}.\)

д) \(x - \frac{9}{x-3} - 3 =\)

\(=\frac{x -3}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-3}}} - \frac{9}{x-3} =\)

\(=\frac{(x-3)^2 - 9}{x-3} =\)

\(=\frac{x^2 - 6x +\cancel{9} - \cancel{9}}{x-3} = \)

\(=\frac{x^2-6x}{x-3}=\frac{x(x-6)}{x-3}.\)

е)  \(a^2 - \frac{a^4+1}{a^2-1} + 1 =\)

\(=\frac{a^2+1}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a^2-1}}} - \frac{a^4+1}{a^2-1} =\)

\(=\frac{(a^2+1)(a^2-1) - (a^4+1)}{a^2-1} =\)

\(=\frac{\cancel{a^4} -1 - \cancel{a^4} -1}{a^2-1} = \)

\(=\frac{-2}{a^2-1} = \frac{2}{-(a^2-1)}=\frac{2}{1-a^2} .\)

Пояснения:

Основные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

4) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

5) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

6) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

7) Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

8) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

а) \( \frac{c}{b - c} + \frac{b^2 - 3bc}{b^2 - c^2}=\)

\( =\frac{c}{b - c} ^{\color{blue}{\backslash{b+c}}} + \frac{b^2 - 3bc}{(b - c)(b+c)}=\)

\( =\frac{c(b + c) + (b^2 - 3bc)}{(b - c)(b+c)} =\)

\( =\frac{bc + c^2 + b^2 - 3bc}{(b - c)(b+c)} =\)

\( =\frac{ b^2 - 2bc + c^2}{(b - c)(b+c)} =\)

\( =\frac{(b - c)^{\cancel2}}{\cancel{(b - c)}(b+c)} = \frac{b - c}{b + c}.\)

б) \( \frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a}=\)

\( =\frac{a + 3}{(a - 1)(a + 1)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{1}{a(a + 1)} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} =\)

\( =\frac{a(a + 3)-(a-1)}{a(a - 1)(a + 1)}=\)

\( =\frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a - 1)(a + 1)}=\)

\( =\frac{a^2 + 2a + 1}{a(a - 1)(a + 1)}=\)

\( =\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{a(a - 1)\cancel{(a + 1)}}=\frac{a+1}{a(a - 1)}\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) Затем в числителе применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\).

5) Сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.