Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№441 учебника 2023-2025 (стр. 106):
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
а) \(\displaystyle \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\;-\;\sqrt{13 - 4\sqrt{3}};\)
б) \(\displaystyle \sqrt{19 - 2\sqrt{34}}\;+\;\sqrt{19 + 2\sqrt{34}}?\)
№441 учебника 2013-2022 (стр. 104):
Решите уравнение:
а) \(\displaystyle \frac{3x - 1}{2} + \frac{2 - x}{3} + 1 = 0\);
б) \(\displaystyle \frac{y - 10}{6} - \frac{5 - 2y}{4} = 2{,}5\).
№441 учебника 2023-2025 (стр. 106):
Вспомните:
№441 учебника 2013-2022 (стр. 104):
Вспомните:
№441 учебника 2023-2025 (стр. 106):
а) \(\displaystyle \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\;-\;\sqrt{13 - 4\sqrt{3}}\) - рациональное число.
\( \bigl(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4\sqrt{3}}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{13 + 4\sqrt{3}}\bigr)^2 - 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})}\sqrt{(13 - 4\sqrt{3})}+\bigl(\sqrt{13 - 4\sqrt{3}}\bigr)^2= \)
\(=13 + \cancel{4\sqrt{3}} - 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})(13 - 4\sqrt{3})}+13 - \cancel{4\sqrt{3}}= \)
\(=26 - 2\sqrt{(13^2 - (4\sqrt{3})^2}= \)
\(=26 - 2\sqrt{169 - 16\cdot3}= \)
\(=26 - 2\sqrt{169 - 48}= \)
\(=26 - 2\sqrt{121}=26-2\cdot11 =\)
\(=26 - 22 = 4 \)
\(\sqrt4 = 2\) - рациональное число.
б) \( \sqrt{19 - 2\sqrt{34}}\;+\;\sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\) - иррациональное число.
\( \bigl(\sqrt{19 - 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{19 - 2\sqrt{34}}\bigr)^2 + 2\sqrt{(19 - 2\sqrt{34})}\sqrt{(19 + 2\sqrt{34})}+ \bigl(\sqrt{19 + 2\sqrt{34}}\bigr)^2= \)
\(=19 - \cancel{2\sqrt{34}} + 2\sqrt{(19 - 2\sqrt{34})(19 + 2\sqrt{34})}+ 19 + \cancel{2\sqrt{34}}= \)
\(=38 + 2\sqrt{19^2 - (2\sqrt{34})^2}= \)
\(=38 + 2\sqrt{361 - 4\cdot34}= \)
\(=38 + 2\sqrt{361 - 136}= \)
\(=38 + 2\sqrt{225}=38 + 2\cdot15= \)
\(=38 + 30 = 68\)
\(\sqrt{68} = \sqrt{4\cdot17} = 2\sqrt{17}\) - иррациональное число.
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
1. Чтобы исследовать рациональным или иррациональным числом являются данные выражения, удобно вычислить его квадрат и затем извлечь корень из полученного выражения.
2. Формула квадрата суммы и квадрата разности:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
3. Разность квадратов:
\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).
4. Если \(a = x^2\), то \(x = \sqrt{a}\).
5. Свойства корня:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);
\((\sqrt{a})^2 = a\).
6. Свойство степени:
\((ab)^n =a^nb^n\).
№441 учебника 2013-2022 (стр. 104):
а) \( \frac{3x - 1}{2} + \frac{2 - x}{3} + 1 = 0 \) /\(\times6\)
\( 3(3x - 1) + 2(2 - x) + 6 = 0 \)
\( 9x - 3 + 4 - 2x + 6 = 0 \)
\(7x + 7 = 0 \)
\(7x = -7\)
\(x = -\frac77\)
\(x = -1\)
Ответ: \(x = -1\).
б) \( \frac{y - 10}{6} - \frac{5 - 2y}{4} = 2{,}5 \)
\( \frac{y - 10}{6} - \frac{5 - 2y}{4} = \frac{5}{2} \) /\(\times12\)
\( 2(y - 10) - 3(5 - 2y) = 6 \cdot 5 \)
\( 2y - 20 - 15 + 6y = 30 \)
\(8y - 35 = 30 \)
\(8y = 30 + 35 \)
\(8y = 65 \)
\(y = \frac{65}{8} \)
\(y = 8\frac{1}{8} \)
Ответ: \(y = 8\frac{1}{8} \).
Пояснения:
– Для уравнений с дробями применён метод избавления от знаменателей: обе части уравнения домножаем на наименьший общий знаменатель всех знаменателей, содержащихся в уравнении, что позволяет работать с целыми коэффициентами.
– При раскрытии скобок использовано распределительное свойство:
\(k(a+b)=ka+kb\).
– Перенос членов с \(x\) в одну сторону, свободных членов - в другую, сводит уравнение к виду \(ax = b\), которое имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).
Вернуться к содержанию учебника